Svolgimento esame di Probabilità. E' corretto?
Salve a tutti tra due settimane ho l'esame di probabilità e volevo sapere se è corretto questo esercizio che mi risulta poco chiaro.
Un sacchetto contiene $m$ palline numerate da $1$ a $m$, con $m>=1$. Viene estratta una pallina a caso e sia $N$ il corrispondente numero estratto. Se $N=n$, viene lanciata una moneta equilibrata n volte. Sia $X$ il numero di teste ottenuto con questo procedimento.
i) Sapendo che $N=5$, calcolare la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=((3),(5))(1/2)^5$ (o devo vederla come probabilità condizionata e quindi dividere per $1/m = P(N=5)$ ??)
ii) Sapendo che $N=2$, calcola la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=0$ in quanto è un evento impossibile.
iii) Calcola la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=P(A|N=1)*P(N=1) + ...... + P(A|N=m)*P(N=m)= sum_{k=3}^m ((k),(3)) * (1/2)^k$
iv) Dire se $X$ e $N$ sono indipendenti.
$P(X=3 nn N=2) = 0 != P(X=3)*P(X=2)$ Dunque NON sono indipendenti.
v)Sapendo che $X=3$, calcolare la probabilità che $N=5$.
$P(N=5|X=3)=(P(N=5 nn X=3))/(P(X=3))= (((5),(3))*(1/2)^5)/(sum_{k=3}^m ((k),(3)) * (1/2)^k$)
vi) Calcola $E(X|N=n)$ e $E(x)$.
$E(X|N=n)=np=n/2. ??$ Ho sfruttato il fatto che X è una binomiale di parametro n e 1/2.
$E(X)=sum_{k=1}^m k*(sum_{j=1}^m ((k),(j)) * (1/2)^k)$
Il problema è che quando dice "Sapendo che" non so se devo vedere la soluzione rispetto alla probabilità condizionata o meno. Mi spiego meglio:
Al primo esercizio per esempio quando chiede la probabilità che X=3, sapendo che N=5 non so se è
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = ((5),(3)) * (1/2)^5 * m$ oppure è solo $((5),(3)) * (1/2)^5$
Potete aiutarmi?
Un sacchetto contiene $m$ palline numerate da $1$ a $m$, con $m>=1$. Viene estratta una pallina a caso e sia $N$ il corrispondente numero estratto. Se $N=n$, viene lanciata una moneta equilibrata n volte. Sia $X$ il numero di teste ottenuto con questo procedimento.
i) Sapendo che $N=5$, calcolare la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=((3),(5))(1/2)^5$ (o devo vederla come probabilità condizionata e quindi dividere per $1/m = P(N=5)$ ??)
ii) Sapendo che $N=2$, calcola la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=0$ in quanto è un evento impossibile.
iii) Calcola la probabilità dell'evento $X=3$.
$P(A)=P(A|N=1)*P(N=1) + ...... + P(A|N=m)*P(N=m)= sum_{k=3}^m ((k),(3)) * (1/2)^k$
iv) Dire se $X$ e $N$ sono indipendenti.
$P(X=3 nn N=2) = 0 != P(X=3)*P(X=2)$ Dunque NON sono indipendenti.
v)Sapendo che $X=3$, calcolare la probabilità che $N=5$.
$P(N=5|X=3)=(P(N=5 nn X=3))/(P(X=3))= (((5),(3))*(1/2)^5)/(sum_{k=3}^m ((k),(3)) * (1/2)^k$)
vi) Calcola $E(X|N=n)$ e $E(x)$.
$E(X|N=n)=np=n/2. ??$ Ho sfruttato il fatto che X è una binomiale di parametro n e 1/2.
$E(X)=sum_{k=1}^m k*(sum_{j=1}^m ((k),(j)) * (1/2)^k)$
Il problema è che quando dice "Sapendo che" non so se devo vedere la soluzione rispetto alla probabilità condizionata o meno. Mi spiego meglio:
Al primo esercizio per esempio quando chiede la probabilità che X=3, sapendo che N=5 non so se è
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = ((5),(3)) * (1/2)^5 * m$ oppure è solo $((5),(3)) * (1/2)^5$
Potete aiutarmi?
Risposte
secondo me bisogna tenere conto del valore di $m$
Anche secondo me bisogna tenere conto di m.
E comunque mi sa che hai scritto male l'ultima formula, dovrebbe essere diviso m e non per m perchè c'è 1/m possibilità che estragga quella pallina e che in seguito esegua il lancio della moneta.
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = (((5),(3)) * (1/2)^5) / m$
E comunque mi sa che hai scritto male l'ultima formula, dovrebbe essere diviso m e non per m perchè c'è 1/m possibilità che estragga quella pallina e che in seguito esegua il lancio della moneta.
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = (((5),(3)) * (1/2)^5) / m$
"gatsu":
Anche secondo me bisogna tenere conto di m.
E comunque mi sa che hai scritto male l'ultima formula, dovrebbe essere diviso m e non per m perchè c'è 1/m possibilità che estragga quella pallina e che in seguito esegua il lancio della moneta.
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = (((5),(3)) * (1/2)^5) / m$
No non ho capito perchè devo dividere per m e non per 1/m. La $P(N=5)=1/m$ e sta al denominatore per definizione di probabilità condizionata. Cioè non dovrebbe essere:
$P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = (((5),(3)) * (1/2)^5) / (1/m)$ = $P(X=3|N=5)=(P(X=3 nn N=5))/(P(N=5)) = (((5),(3)) * (1/2)^5) *m$ ???
Ops, sorry 
...mi sa che hai ragione te...è diviso $1/m$
(P.S. io ho dato il mio parere ma come avrai ben capito non sono sicuramente la fonte + autorevole per dare una risposta corretta
)
...mi sa che hai ragione te...è diviso $1/m$(P.S. io ho dato il mio parere ma come avrai ben capito non sono sicuramente la fonte + autorevole per dare una risposta corretta
)
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