Sviluppo formula calcolo probabilità
Ciao Ada, potresti, per favore, aiutarmi nello sviluppo di queste formule, cioè come si arriva al risultato attraverso i numeri? Forse mancano, nella risoluzione, le probabilità di base per capire bene; se puoi, aggiungile, per favore.
In un istituto scolastico il personale tecnico è composto da 12 maschi e 4 femmine. Vengono scelti a caso tre dei 16 impiegati: qual è la probabilità p che siano tutti i maschi?
(A)0.45
(B)0.21
(C) 0.39
(D) 0.78
(E) 0.12
(F) 0.67
La probabilià che la prima persona scelta sia di sesso maschile è: $P(M_1)=12/16=0,75
La probabilità che anche la seconda persona scelta sia di sesso maschile è condizionata dal verifiarsi dell'evento $M_1: P(M_2|M_1)=11/15=0,7333
Infine, la probabilità che la terza persona scelta sia di sesso maschile è condizionata a verificarsi dell'evento $M_1$ e dell'evento $M_2$ (intersezione di entrambi gli eventi).
$P(M_3|M_1 nn M_2)=10/14=0,7143$
Quindi la probabilità che le tre persone siano tutte di sesso maschile sarà pari a:
$P(A nn B nn C)=P(M_1)*P(M_2|M_1)*P(M_3|M_1 nn M_2)=0,75*0,7333*0,7143=0,3928$
Grazie mille.
In un istituto scolastico il personale tecnico è composto da 12 maschi e 4 femmine. Vengono scelti a caso tre dei 16 impiegati: qual è la probabilità p che siano tutti i maschi?
(A)0.45
(B)0.21
(C) 0.39
(D) 0.78
(E) 0.12
(F) 0.67
La probabilià che la prima persona scelta sia di sesso maschile è: $P(M_1)=12/16=0,75
La probabilità che anche la seconda persona scelta sia di sesso maschile è condizionata dal verifiarsi dell'evento $M_1: P(M_2|M_1)=11/15=0,7333
Infine, la probabilità che la terza persona scelta sia di sesso maschile è condizionata a verificarsi dell'evento $M_1$ e dell'evento $M_2$ (intersezione di entrambi gli eventi).
$P(M_3|M_1 nn M_2)=10/14=0,7143$
Quindi la probabilità che le tre persone siano tutte di sesso maschile sarà pari a:
$P(A nn B nn C)=P(M_1)*P(M_2|M_1)*P(M_3|M_1 nn M_2)=0,75*0,7333*0,7143=0,3928$
Grazie mille.
Risposte
non so che cosa intendi per "aggiungere le probabilità di base". l'esercizio è svolto bene. se lasci le frazioni puoi confrontarlo con un altro metodo di risoluzione.
la probabilità da te scritta, uguale alla probabilità calcolata direttamente $12/16*11/15*10/14$, può essere confrontata con il rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali (possibili scelte di tre persone su 16) attraverso i coefficienti binomiali: $(((12),(3)))/(((16),(3)))=((12*11*10)/(1*2*3))/((16*15*14)/(1*2*3))=(12*11*10)/(16*15*14)$
spero sia chiaro. fammi sapere che cosa intendevi chiedere più precisamente. ciao.
la probabilità da te scritta, uguale alla probabilità calcolata direttamente $12/16*11/15*10/14$, può essere confrontata con il rapporto tra i casi favorevoli e i casi totali (possibili scelte di tre persone su 16) attraverso i coefficienti binomiali: $(((12),(3)))/(((16),(3)))=((12*11*10)/(1*2*3))/((16*15*14)/(1*2*3))=(12*11*10)/(16*15*14)$
spero sia chiaro. fammi sapere che cosa intendevi chiedere più precisamente. ciao.
Ciao Ada e grazie, come al solito per la disponibilità. Non ho letto attentamente la tua risposta, ma ti scrivo perché penso che la mia domanda forse non era così chiara. Io l'esercizio l'ho risolto seguendo un altro ragionamento e quindi conosco i risultati delle tre formule. Se non conoscessi $12/16, 11/15, 10/14$, non saprei partendo dalle tre formule arrivare a questi tre risultati. Ecco ti chiedevo un aiuto proprio in questo cioé:
La probabilità che la prima persona scelta sia di sesso maschile è: $P(M_1)=$
La probabilità che anche la seconda persona scelta sia di sesso maschile è condizionata dal verifiarsi dell'evento $M_1:$ $P(M_2|M_1)$=
Infine, la probabilità che la terza persona scelta sia di sesso maschile è condizionata a verificarsi dell'evento $M_1$ e dell'evento $M_2$ (intersezione di entrambi gli eventi).
$P(M_3|M_1 nn M_2)=$
Quindi la probabilità che le tre persone siano tutte di sesso maschile sarà pari a:
P(A $nn$ B $nn$ C)=P($M_1$)*P($M_2$|$M_1$)*P($M_3$|$M_1$ $nn$ $M_2$)
Come si giunge ai tre risultati?($12/16, 11/15, 10/14$). Cioè, dalle formule ai risultati.
Grazie
La probabilità che la prima persona scelta sia di sesso maschile è: $P(M_1)=$
La probabilità che anche la seconda persona scelta sia di sesso maschile è condizionata dal verifiarsi dell'evento $M_1:$ $P(M_2|M_1)$=
Infine, la probabilità che la terza persona scelta sia di sesso maschile è condizionata a verificarsi dell'evento $M_1$ e dell'evento $M_2$ (intersezione di entrambi gli eventi).
$P(M_3|M_1 nn M_2)=$
Quindi la probabilità che le tre persone siano tutte di sesso maschile sarà pari a:
P(A $nn$ B $nn$ C)=P($M_1$)*P($M_2$|$M_1$)*P($M_3$|$M_1$ $nn$ $M_2$)
Come si giunge ai tre risultati?($12/16, 11/15, 10/14$). Cioè, dalle formule ai risultati.
Grazie
1) ci sono 12 uomini e 4 donne: $P(M_1)=12/(12+4)$. è come pescare una pallina bianca da un'urna contenente 12 palline bianche e 4 nere: $12+4=16$ è il totale dei casi, $12$ è il totale dei casi favorevoli.
2) al secondo passo, sapendo che il primo scelto è un uomo, rimangono 15 persone di cui 11 uomini e 4 donne: $P(M_2 | M_1)=11/(11+4)=11/15$.
3) analogamente, nell'ipotesi che siano stati estratti due uomini, rimangono 10 uomini e 4 donne, totale 14 persone: casi favorevoli, 10; casi totali, 14. $P(M_3 | M_1 nn M_2)=10/14$.
se hai capito ora, ed hai chiarito il dubbio, prova ora a rileggere il mio post precedente.
prova anche a fare una variante dell'esercizio precedente calcolando la probabilità che la prima estratta sia una donna (o la seconda, o la terza, a piacere tuo), e poi la probabilità che delle tre persone estratte due siano uomini e una sia donna, indipendentemente dall'ordine di estrazione.
2) al secondo passo, sapendo che il primo scelto è un uomo, rimangono 15 persone di cui 11 uomini e 4 donne: $P(M_2 | M_1)=11/(11+4)=11/15$.
3) analogamente, nell'ipotesi che siano stati estratti due uomini, rimangono 10 uomini e 4 donne, totale 14 persone: casi favorevoli, 10; casi totali, 14. $P(M_3 | M_1 nn M_2)=10/14$.
se hai capito ora, ed hai chiarito il dubbio, prova ora a rileggere il mio post precedente.
prova anche a fare una variante dell'esercizio precedente calcolando la probabilità che la prima estratta sia una donna (o la seconda, o la terza, a piacere tuo), e poi la probabilità che delle tre persone estratte due siano uomini e una sia donna, indipendentemente dall'ordine di estrazione.
Grazie mille, sei stata chiarissima. In sostanza la domanda era se le quattro formule abbisognassero di ulteriore semplificazione o scomposizione (come per esempio nel teorema di Bayes) o no. Sergio è il maestro della Statistica Descrittiva, tu sei la maestra del calcolo delle probabilità. Per il resto, mi potresti, per favore, dare qualche spiegazione sul seguente esercizio?
Un giocatore di poker ha un colore quando le cinque carte che tiene in mano appartengono allo stesso seme. Qual è la probabilità di ottenere un colore di picche prendendo cinque carte dal mazzo? (un mazzo contiene 52 carte, 13 per seme)
A) 0,902 %
B) 0,000021 %
C) 0,81 %
D) 1,2 %
E) 0,0495 %
F) 3,05 %
F) 0.00308
Grazie mille Ada. Non ti ho ancora chiesto la mail, ma per me sarebbe un sogno averla!
Un giocatore di poker ha un colore quando le cinque carte che tiene in mano appartengono allo stesso seme. Qual è la probabilità di ottenere un colore di picche prendendo cinque carte dal mazzo? (un mazzo contiene 52 carte, 13 per seme)
A) 0,902 %
B) 0,000021 %
C) 0,81 %
D) 1,2 %
E) 0,0495 %
F) 3,05 %
F) 0.00308
Grazie mille Ada. Non ti ho ancora chiesto la mail, ma per me sarebbe un sogno averla!
anche qui è semplice procedere in ciascuno dei vari modi equivalenti, perché le 5 carte devono soddisfare la stessa proprietà.
quindi procedendo in maniera analoga all'esercizio precedente, prima, seconda, terza, quarta, quinta carta di picche ...
$P=13/52*12/51*11/50*10/49*9/48$, ogni volta che estrai una carta di picche diminuisce di 1 sia il numero delle care di picche dal mazzo sia il totale delle carte.
ma quante combinazioni esistono delle carte estratte a caso? il totale dei casi è il numero di sottoinsiemi di 5 elementi di un insieme di 52 elementi, il numero dei casi favorevoli è il numero di sottoinsiemi di 5 elementi di un insieme di 13 elementi (le cinque carte le scegli dal mazzo di 52, ma vuoi che tutte siano di picche, cioè che appartengano all'insieme delle 13 carte di picche). dunque:
$P=(((13),(5)))/(((52),(5)))=((13*12*11*10*9)/(5!))/((52*51*50*49*48)/(5!))$
OK?
quindi procedendo in maniera analoga all'esercizio precedente, prima, seconda, terza, quarta, quinta carta di picche ...
$P=13/52*12/51*11/50*10/49*9/48$, ogni volta che estrai una carta di picche diminuisce di 1 sia il numero delle care di picche dal mazzo sia il totale delle carte.
ma quante combinazioni esistono delle carte estratte a caso? il totale dei casi è il numero di sottoinsiemi di 5 elementi di un insieme di 52 elementi, il numero dei casi favorevoli è il numero di sottoinsiemi di 5 elementi di un insieme di 13 elementi (le cinque carte le scegli dal mazzo di 52, ma vuoi che tutte siano di picche, cioè che appartengano all'insieme delle 13 carte di picche). dunque:
$P=(((13),(5)))/(((52),(5)))=((13*12*11*10*9)/(5!))/((52*51*50*49*48)/(5!))$
OK?
Grazie mille, la mail è un sogno, verò? Per quanto riguarda l'esercizio precedente, in sostanza la domanda era se le quattro formule abbisognassero di ulteriore semplificazione o scomposizione (come per esempio nel teorema di Bayes) o no; tutto qui.
La volta scorsa abbiamo risolto questo esercizio: e ci si doveva basare sull'intersezione. In quest'altro, ci si deve basare sull' unione degli eventi?
Le confezioni di succhi di frutta prodotti da un’industria alimentare hanno, in media, rispetto a quanto dichiarato nell’etichetta, nel 5% dei casi un contenuto inferiore e nell’8% dei casi una concentrazione inferiore
Inoltre, nel 40% dei casi in cui il contenuto risulta inferiore, lo è anche la concentrazione e viceversa nel 25% dei casi in cui concentrazione risulta inferiore, lo è anche il contenuto. La probabilità che una confezione abbia contenuto e concentrazione inferiori a quelli dichiarati è, pertanto,
A)2%
(B) 13%
(C) 4,5%
(D) 4%
Le confezioni di succhi di frutta prodotti da un’industria alimentare hanno, in media, rispetto a quanto dichiarato nell’etichetta, nel 5% dei casi un contenuto inferiore; nel 8% dei casi una concentrazione inferiore e nel 2% dei casi sia contenuto che concentrazione inferiori. La probabilità che una confezione non sia conforme a quanto dichiarato solo per contenuto o solo per concentrazione o per entrambi i motivi è,
(A)Non si può dire
(B) 13%
(C) 10%
(D) 15%
(E)11%
La volta scorsa abbiamo risolto questo esercizio: e ci si doveva basare sull'intersezione. In quest'altro, ci si deve basare sull' unione degli eventi?
Le confezioni di succhi di frutta prodotti da un’industria alimentare hanno, in media, rispetto a quanto dichiarato nell’etichetta, nel 5% dei casi un contenuto inferiore e nell’8% dei casi una concentrazione inferiore
Inoltre, nel 40% dei casi in cui il contenuto risulta inferiore, lo è anche la concentrazione e viceversa nel 25% dei casi in cui concentrazione risulta inferiore, lo è anche il contenuto. La probabilità che una confezione abbia contenuto e concentrazione inferiori a quelli dichiarati è, pertanto,
A)2%
(B) 13%
(C) 4,5%
(D) 4%
Le confezioni di succhi di frutta prodotti da un’industria alimentare hanno, in media, rispetto a quanto dichiarato nell’etichetta, nel 5% dei casi un contenuto inferiore; nel 8% dei casi una concentrazione inferiore e nel 2% dei casi sia contenuto che concentrazione inferiori. La probabilità che una confezione non sia conforme a quanto dichiarato solo per contenuto o solo per concentrazione o per entrambi i motivi è,
(A)Non si può dire
(B) 13%
(C) 10%
(D) 15%
(E)11%
prego.
in questi giorni mi devo trasferire, e lavorerò con un portatile, sarà quindi più difficile anche riuscire a collegarmi.
devo anche provvedere a recuperare qualche password che è memorizzata in automatico nel computer fisso.
vedremo tra qualche giorno come andrà ... la vedo un po' dura ...
veniamo al problema, su cui qualche suggerimento mi pare di avertelo già dato in precedenza.
la percentuale dell'intersezione deve risultare uguale se si parte dal primo oppure dal secondo insieme. infatti:
il 40% del 5% è $(40*5)/100 % = 2%$, ed anche il 25% dell'8% è $(25*8)/100 % =2%$.
se chiamiamo $A$ l'insieme delle confezioni con contenuto non conforme e $B$ l'insieme delle confezioni con concentrazione non conforme, evitando di scrivere "%" tutte le volte, $|A|=5, |B|=8, |AnnB|=2, |AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|=5+8-2=11$, dunque l'11% delle confezioni non è conforme all'etichetta, per almeno una delle due irregolarità.
spero sia chiaro. ciao.
in questi giorni mi devo trasferire, e lavorerò con un portatile, sarà quindi più difficile anche riuscire a collegarmi.
devo anche provvedere a recuperare qualche password che è memorizzata in automatico nel computer fisso.
vedremo tra qualche giorno come andrà ... la vedo un po' dura ...
veniamo al problema, su cui qualche suggerimento mi pare di avertelo già dato in precedenza.
la percentuale dell'intersezione deve risultare uguale se si parte dal primo oppure dal secondo insieme. infatti:
il 40% del 5% è $(40*5)/100 % = 2%$, ed anche il 25% dell'8% è $(25*8)/100 % =2%$.
se chiamiamo $A$ l'insieme delle confezioni con contenuto non conforme e $B$ l'insieme delle confezioni con concentrazione non conforme, evitando di scrivere "%" tutte le volte, $|A|=5, |B|=8, |AnnB|=2, |AuuB|=|A|+|B|-|AnnB|=5+8-2=11$, dunque l'11% delle confezioni non è conforme all'etichetta, per almeno una delle due irregolarità.
spero sia chiaro. ciao.
Grazie mille, aspetto la tua mail e sarà un momento felicissimo quando me la invierai. Un'ultima cosa su quest'altro esercizio: applico il teorema del limite centrale e approssimo alla normale?
Nella popolazione di una regione, la percentuale di fumatori è pari al 21,4%. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 260 residenti, meno di un quinto siano fumatori?
(A)0,257
(B) 0,291
(C) 0,480
(D) 0,482
(E)0,709
(F) 0,478
Nella popolazione di una regione, la percentuale di fumatori è pari al 21,4%. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 260 residenti, meno di un quinto siano fumatori?
(A)0,257
(B) 0,291
(C) 0,480
(D) 0,482
(E)0,709
(F) 0,478
direi di sì, hai tutti i dati per impostare il problema con la binomiale approssimata alla normale. anche solo a occhio, puoi escludere 3 risposte su 6 ...
Purtroppo ho provato e mi esce un valore troppo alto della probabilità, impossibile da trovare sulle tavole. Se hai voglia ti mando la risoluzione. E vediamo un pò.
ho perso allenamento con le tavole, io pensavo che la risposta fosse fra le tre minori di 1/2 ma non troppo, invece mi pare che sia la B!
se prendi $p=0.214, q=1-0.214=0.786, n=260$, viene $m=55.64, sigma=6.613, 1/5*260=52$. senza "aggiustamenti", $(52-55.64)/6.613=-0.55043$
in corrispondenza a $0.55$ sulla mia tavola c'è $0.7088$, e la probabilità richiesta dovrebbe essere $1-0.709=0.291$, ma mi sembra un po' troppo bassa.
se prendi $p=0.214, q=1-0.214=0.786, n=260$, viene $m=55.64, sigma=6.613, 1/5*260=52$. senza "aggiustamenti", $(52-55.64)/6.613=-0.55043$
in corrispondenza a $0.55$ sulla mia tavola c'è $0.7088$, e la probabilità richiesta dovrebbe essere $1-0.709=0.291$, ma mi sembra un po' troppo bassa.
Te la mando la mia risoluzione?
postala pure. non garantisco che potrò risponderti subito, comunque rimane qui e la potrà leggere chiunque...
Poiché la variabile casuale Binomiale ha valore atteso pari a
$E(X)=n*\pi=260*0,214=55,64$
e varianza
$Var(X)=n*\pi*(1-\pi)=260+0,214*(1-0,214)=55,64*0,786=43,7330$
Se X è il numero di fumatori in un campione di 260 residenti con probabilità p di fumatori, $X~Bi(n,p)$, con $n=260$. Allora per il Teorema del Limite Centrale si ha
$(X-np)/sqrt(np(1-p))=(X-260p)/sqrt(260p(1-p))~N(0,1)$.
Se p=0,214, per il Teorema del Limite Centrale
$(X-np)/sqrt(np(1-p))=(X-55,64)/sqrt(43,7330)=(X-55,64)/(6,6131)~N(0,1)$
La probabilità richiesta è $P(X<0,2)$.
$P(X<0,2)=P((X-55,64)/(6,6131)<(0,2-55,64)/(6,6131))=P((X-55,64)/(6,6131)<(-55,44)/(6,6131))~~P(Z*<-8,3834)=P(Z*>8,3834)=0,5000-\theta(8,3834)=$e qui mi sono fermato perché il valore della probabilità è molto alto e impossibile da trovare sulle tavole. Cioè il valore 8,3834.
Grazie mille
$E(X)=n*\pi=260*0,214=55,64$
e varianza
$Var(X)=n*\pi*(1-\pi)=260+0,214*(1-0,214)=55,64*0,786=43,7330$
Se X è il numero di fumatori in un campione di 260 residenti con probabilità p di fumatori, $X~Bi(n,p)$, con $n=260$. Allora per il Teorema del Limite Centrale si ha
$(X-np)/sqrt(np(1-p))=(X-260p)/sqrt(260p(1-p))~N(0,1)$.
Se p=0,214, per il Teorema del Limite Centrale
$(X-np)/sqrt(np(1-p))=(X-55,64)/sqrt(43,7330)=(X-55,64)/(6,6131)~N(0,1)$
La probabilità richiesta è $P(X<0,2)$.
$P(X<0,2)=P((X-55,64)/(6,6131)<(0,2-55,64)/(6,6131))=P((X-55,64)/(6,6131)<(-55,44)/(6,6131))~~P(Z*<-8,3834)=P(Z*>8,3834)=0,5000-\theta(8,3834)=$e qui mi sono fermato perché il valore della probabilità è molto alto e impossibile da trovare sulle tavole. Cioè il valore 8,3834.
Grazie mille
$0.2$ è la probabilità, non la media, va moltiplicato per $n=260$ (è il mio $52$).
La media è 55,64.
va bene, $52$ è il "dato reale" che devi confrontare non la media. il numero delle persone non è $1/5$, ma $1/5*260=52$. OK?
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