Supporto di una condizionata

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mobley
mobley
23 nov 2019, 12:44
L'esercizio è il seguente:
Siano $X$ e $Y$ indipendenti e somiglianti con legge $U(0,1)$. Siano inoltre $U=|X-Y|$ e $V=min(X,Y)$.
a) Trovare la densità marginale di $U$ indicando chiaramente il supporto.
b) Trovare la densità marginale di $V$ indicando chiaramente il supporto.
c) Determinare il supporto della densità condizionata $U|V=1/2$, ovvero è sufficiente determinare i valori che tale variabile può assumere.
d) (facoltativo)Trovare la densità congiunta di $(U,V)$.


a) $\mathbb(P)(|X-Y|<=u)=1-2\int_(u)^(1)[\int_(0)^(x-u)\mathbb(I)_([0,1]^2)(x,y)dy]dx=2u-u^2 rArr f_U(u)=2(1-u)\mathbb(I)_[0,1](u)$

b) $\mathbb(P)(min(X,Y)<=v)=1-\int_(v)^(1)\mathbb(I)_[0,1](x)dx \int_(v)^(1)\mathbb(I)_[0,1](y)dy=2v-v^2 rArr f_V(v)=2(1-v)\mathbb(I)_[0,1](v)$
Quindi $U$ e $V$ hanno la stessa densità.

c) Ho provato così. Se $V=1/2 rArr min(X,Y)=1/2 ->\mathbb(P)(X=1/2,Y=1/2)$, quindi dovendo trovare il dominio di $U|V=1/2$ sostituisco $X=1/2$ e $Y=1/2$ negli intervalli di integrazione di $u$:
$(u<1/2) uu (0<1/2<1)=0E fin qua mi sembra corretto.
Poi però (immagino) dovrei ottenere lo stesso intervallo anche per Y, e invece…
$(1/2<1/2-u) uu (0<1/2<1)=0…Ho sbagliato a fare i calcoli oppure è proprio il ragionamento che non va?

d) Buio totale. Fortuna che è facoltativo :-D...
Risposte
Lo_zio_Tom
Lo_zio_Tom
23 nov 2019, 22:27
a) e b) ok

c) considerando che $U=max(X,Y)-min(X,Y)$ mi pare evidente che il supporto della variabile condizionata $U|V=1/2$ non possa che essere $S_(U|V) in (0;1/2)$

d) procediamo così:


dobbiamo calcolare la densità congiunta

${{: ( U=|X-Y| ),( V=min(X,Y)) :}$

Supponiamo di essere nella condizione in cui $X>Y$, ovvero nel triangolo sotto la bisettrice del quadrato unitario. A questo punto la densità uniforme congiunta di $(X,Y)$ è $f(x,y)=2$

Allora, applicando il teorema fondamentale di trasformazione abbiamo

${{: ( u=x-y ),( v=y) :}rarr{{: ( x=u+v ),( y=v) :}$

calcoli lo jacobiano ecc ecc e trovi che $f(u,v)=2$

Quando siamo nella condizione opposta stesso discorso.....in fin dei conti la densità congiunta dovrebbe venire così

$f_(UV)(u,v)=2*mathbb{1}_((0;1))(v)mathbb{1}_((0;1-v))(u)$

Ora sì che tornano i conti perché se calcoliamo la distribuzione condizionata

$f(u|v)=(f(u,v))/(f(v))=1/(1-v)$ definita sullo stesso supporto le cose quadrano: è una uniforme condizionata al valore assunto da $v$,

Una ulteriore conferma che la congiunta è corretta è che se integri rispetto ad una o l'altra variabile trovi correttamente le marginali di partenza. Infatti la densità congiunta di $(U,V)$ è definita su

$mathbb{1}_((0;1))(v)*mathbb{1}_((0;1-v))(u)$


che è il triangolo di vertici $(0;0)$;$(1;0)$;$(0;1)$

quindi

$f_V(v)=int_0^(1-v)2du=2(1-v)mathbb{1}_((0;1))(v)$


$f_U(u)=int_0^(1-u)2dv=2(1-u)mathbb{1}_((0;1))(u)$

come del resto hai già trovato per altra via....
mobley
mobley
24 nov 2019, 08:37
Grazie. Se non fosse per te io e molti altri qui dentro avremmo da tempo fatto rinuncia agli studi! :D Comunque ora capisco quel "facoltativo"... Ci ha preso per astrofisici nucleari, quel simpaticone del docente.

Ora cerco di raccapezzarmi nella risposta che hai dato. Grazie ancora @tommik!
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