Sulla proof di \(\text{SDOM}_x\) (o \( \text{SE}_{\bar{x}} \) o \(\sigma_{\bar{x}}\))..

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
in primis voglio precisare il testo che uso, ovvero "Introduzione all'analisi degli errori" di J.R.Taylor...
Mi soffermavo sulla dimostrazione dell'errore standard, \(\text{SDOM}_x\) (o \( \text{SE}_{\bar{x}} \) o \(\sigma_{\bar{x}}\)), in particolare a pg 150,151,152,153 del testo, in cui dice

http://i60.tinypic.com/2mrur00.jpg


Mi domando "perchè le singole deviazioni standard[nota]a dire il vero non capisco che "tipo" di deviazioni standard sono [/nota] sono uguali?" Non sarebbe stato meglio non considerare il caso in cui fossero uguali tra loro ed usare la formula con le derivate parziali?

Ringrazio anticipatamente!

Saluti

[garnak.olegovitc1]

@Sergio,

"Sergio":È tutto molto semplice e si basa sull'assunto «supponiamo che le misure di $x$ siano normalmente distribuite attorno al valore vero $X$ e con parametro di larghezza \(\sigma_x\)» (pag. 151, terza riga).
In altri termini, le singole deviazioni standard sono uguali semplicemente perché si assume che sia così

Non è strano. Devi misurare un qualcosa e disponi di uno strumento con cui effettui le singole misure. Se effettui le misure sempre nelle stesse condizioni, non c'è motivo di pensare che l'errore di misura abbia una variabilità che cambia di misura in misura. Potrebbe succedere in situazioni particolari, ad esempio se misuri la temperatura di ebollizione dell'acqua ad altitudini diverse, oppure se la temperatura del laboratorio varia sensibilmente di misura in misura.

Per il resto, non è necessario assumere normalità per dimostrare che, se \(\mathbf{X}_n=(X_1,\dots,X_n)\) è un insieme di \(n\) variabili indipendenti e identicamente distribuite, indicando con \(\overline{X}\) la media delle \(X_i\), allora:
a) \(E[\overline{X}]=E[X]\);
b) \(V(\overline{X}]=V[X_i]/n\).

thanks intanto della risposta... le cose cominciano ad essere leggermente più chiare; se non chiedo troppo volevo un tuo parere su di un esercizio del Taylor (in particolare il 5.31 a pg 163):



i miei risultati sono:

\(\sigma_t \) per le \(40\) misure è 7,04
la media \(\bar{t}_1 \) della prima colonna è 74,25
la media \(\bar{t}_2 \) della seconda colonna è 67,75
la media \(\bar{t}_3 \) della terza colonna è 72,5
la media \(\bar{t}_4 \) della quarta colonna è 77,25
la media \(\bar{t}_5 \) della quinta colonna è 66,25
la media \(\bar{t}_6 \) della sesta colonna è 74,75
la media \(\bar{t}_7 \) della settima colonna è 75,75
la media \(\bar{t}_8 \) dell'ottava colonna è 76
la media \(\bar{t}_9 \) della nona colonna è 71,75
la media \(\bar{t}_{10} \) della decima colonna è 72,75

adesso lui vuole la deviazione standard delle dieci medie, potrei usare la formuletta \( \displaystyle \frac{\sigma_t }{\sqrt{4}}\).. ma non so perchè preferisco fare questo ragionamento... sulle 10 medie associate a 10 misurazioni del tempo preferisco prendere come stima migliore "la media delle 10 medie" ovvero $$t_\text{best}:=\frac{\bar{t}_1+\bar{t}_2+...+\bar{t}_{10}}{10}$$ e siccome \( t_\text{best} \) è palesemente in funzione di grandezze fisiche, ovvero \(\bar{t}_1,\bar{t}_2,...,\bar{t}_{10}\), allora devo applicare la formula di propagazione dell'errore $$\sigma_{\bar{t}}=\sqrt{\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_1}\sigma_{t_1}\right )^2+\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_2}\sigma_{t_2}\right )^2+...+\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_{10}}\sigma_{t_{10}}\right )^2}$$ ma arrivati qui non posso dire che le deviazioni standard sono uguali, perchè così non è.. difatti ho:

\(\sigma_{t_1}\) è 9,53502316
\(\sigma_{t_2}\) è 9,53502316
\(\sigma_{t_3}\) è 5,802298395
\(\sigma_{t_4}\) è 8,995369179
\(\sigma_{t_5}\) è 4,787135539
\(\sigma_{t_6}\) è 4,573474245
\(\sigma_{t_7}\) è 8,057087977
\(\sigma_{t_8}\) è 5,354126135
\(\sigma_{t_9}\) è 6,238322424
\(\sigma_{t_{10}}\) è 4,34932945

Mi sono permesse di guardare la soluzione (anche perchè è l'unico punto dove ho perplessità) e lì dice che \(\sigma_{\bar{t}}\) è esattamente la deviazione standard delle 10 medie.. se così è allora $$\sigma_{\bar{t}}=\sqrt{\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_1}\sigma_{t_1}\right )^2+\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_2}\sigma_{t_2}\right )^2+...+\left (\frac{\partial t_\text{best}}{\partial \bar{t}_{10}}\sigma_{t_{10}}\right )^2}= ...=\sqrt{\frac{1}{10-1}\cdot \sum_{i=1}^{10}(\bar{t}_i-t_\text{best})^2}$$ penso bene oppure ho mal interpretato qualcosa? Ringrazio anticipatamente!

Saluti

P.S.= purtroppo gli istogrammi li ho fatti a mano.. sennò l'esercizio era concluso (sperando non vi siano errori) ! Forse nel denominatore va \( 10 \) e non \( 10-1 \), i calcoli li ha fatti excel e non so quale deviazione standard ha usato.. comunque aldilà della deviazione standard usata vengono i risultati..!