Successi consecutivi
Qual é la probabilità che su 25 prove indipendenti e identicamente distribuite, con probabilità di successo 'p', la massima lunghezza di una sottostringa di successi consecutivi risulti 5 ?
Equivalentemente : ci sono mattoni rossi (probabilità di estrazione p) e mattoni gialli (probabilità di estrazione q); la torre crolla la prima volta che si presentano k+1 mattoni rossi consecutivi.
Qual é la probabilità che dopo 'n' mattoni la torre sia ancora in piedi ?
Non sono riuscito ad arrivare ad una formula chiusa, ma solo ad impostare il problema ricorsivamente.
Equivalentemente : ci sono mattoni rossi (probabilità di estrazione p) e mattoni gialli (probabilità di estrazione q); la torre crolla la prima volta che si presentano k+1 mattoni rossi consecutivi.
Qual é la probabilità che dopo 'n' mattoni la torre sia ancora in piedi ?
Non sono riuscito ad arrivare ad una formula chiusa, ma solo ad impostare il problema ricorsivamente.
Risposte
Se la torre é ancora in piedi al passo n, e chiamo P[n] la probabilità di questo evento, possono verificarsi due eventi, al passo successivo 'n+1' , che sono esclusivi ed esaustivi : la torre non crolla, e la relativa probabilità é P[n+1], oppure crolla, e questo puo' accadere solo se al passo n+1 viene il k+1. mo successo consecutivo. Cio' vuol dire che in coda alla catena di lunghezza n era già predisposta la sequenza '1 insuccesso e k successi consecutivi' e questa é seguita da successo. Devo far precedere i k successi da insuccesso perché se non si impone questo puo' accadere che la torre sia già crollata. E naturalmente, al passo n - k - 1 la torre era ancora in piedi.
Poiché le singole prove sono indipendenti e la probabilità di successo é p, si avrà
P[n] = P[n+1] + P[n-k-1] q p^k p
a cui sono associate le condizioni iniziali
P[h] = 1 per ogni h da 1 a k
P[k+1] = 1 - p^(k+1)
le quali esprimono il fatto che la torre non puo' crollare fino al passo k, perché non c'é spazio per k+1 successi,
e che l'unico modo per farla crollare al passo 'k+1' é che si presentino tutti successi.
Ora l'equazione ricorsiva
P[n+1] = P[n] - v P[n-k-1] ( v = q p^(k+1 ) )
potrebbe essere risolta nella forma P[n] = C y^n
ma ci sono molti problemi computazionali. Temo infatti che per poter imporre correttamente tutte le condizioni iniziali si debbano cercare tutte le radici complesse dell'equazione ( polinomiale di alto grado ) che si ottiene, la quale é pure parametrica se p non viene fissato. Detta yr una radice
P[n] sarà la somma su r di Cr yr^n
e le Cr andranno determinate in base alle condizioni iniziali.
E' giusto ?
Poiché le singole prove sono indipendenti e la probabilità di successo é p, si avrà
P[n] = P[n+1] + P[n-k-1] q p^k p
a cui sono associate le condizioni iniziali
P[h] = 1 per ogni h da 1 a k
P[k+1] = 1 - p^(k+1)
le quali esprimono il fatto che la torre non puo' crollare fino al passo k, perché non c'é spazio per k+1 successi,
e che l'unico modo per farla crollare al passo 'k+1' é che si presentino tutti successi.
Ora l'equazione ricorsiva
P[n+1] = P[n] - v P[n-k-1] ( v = q p^(k+1 ) )
potrebbe essere risolta nella forma P[n] = C y^n
ma ci sono molti problemi computazionali. Temo infatti che per poter imporre correttamente tutte le condizioni iniziali si debbano cercare tutte le radici complesse dell'equazione ( polinomiale di alto grado ) che si ottiene, la quale é pure parametrica se p non viene fissato. Detta yr una radice
P[n] sarà la somma su r di Cr yr^n
e le Cr andranno determinate in base alle condizioni iniziali.
E' giusto ?
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