Su una matrice di covarianza
Leggendo un articolo sono rimasto perplesso su alcuni passaggi, nulla di complicato, ma ci sono delle assunzioni che non mi tornano. Dunque: sia
$z_l=sum_(i!=k-D-1,...,k-D-mu) a_i*g_(l-i) + w_l$
dove $E[w_p*w_q]=sigma_w^2*delta_(p-q)={(sigma_w^2,p=q),(0,p!=q):} e
$E[a_p*a_q]=sigma_a^2*delta_(p-q)={(sigma_a^2,p=q),(0,p!=q):}
Sia anche $ulz_k=[z_(k-1),z_(k-2),...,z_(k-n)]^T$
si vuole trovare un'espressione semplificata dell'elemento generico della matrice di covarianza $ululPhi=E[ulz_k^(**)*ulz_k^T]$:
$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=...$
Per ora non metto il mio risultato per non influenzarvi nel procedimento.
$z_l=sum_(i!=k-D-1,...,k-D-mu) a_i*g_(l-i) + w_l$
dove $E[w_p*w_q]=sigma_w^2*delta_(p-q)={(sigma_w^2,p=q),(0,p!=q):} e
$E[a_p*a_q]=sigma_a^2*delta_(p-q)={(sigma_a^2,p=q),(0,p!=q):}
Sia anche $ulz_k=[z_(k-1),z_(k-2),...,z_(k-n)]^T$
si vuole trovare un'espressione semplificata dell'elemento generico della matrice di covarianza $ululPhi=E[ulz_k^(**)*ulz_k^T]$:
$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=...$
Per ora non metto il mio risultato per non influenzarvi nel procedimento.
Risposte
Questo è il mio risultato, in contrasto con quello dell'articolo:
$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=E[(sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) a_l*g_(k-i-l) + w_(k-i))^(**)(sum_(m!=k-D-1,...,k-D-mu) a_m*g_(k-j-m) + w_(k-j))]=$
$=sum_lsum_mE[a_l^(**)*a_m]g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-m)+E[w_(k-i)^(**)*w_(k-j)]=$
$=sigma_a^2sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-l) +sigma_w^2*delta_(i-j)=$
cambio di variabile r=k-l
$=sigma_a^2sum_(r!=D+1,...,D+mu) g_(r-i)^(**)*g_(r-j) +sigma_w^2*delta_(i-j)$
dunque la matrice di covarianza è hermitiana.
Dimenticavo, il secondo passaggio è giustificato dal fatto che le sequenze ${a_k}$ e ${w_k}$ sono indipendenti.
Questo è quello che ho trovato io, vi torna oppure ho toppato su qualche passaggio?
$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=E[(sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) a_l*g_(k-i-l) + w_(k-i))^(**)(sum_(m!=k-D-1,...,k-D-mu) a_m*g_(k-j-m) + w_(k-j))]=$
$=sum_lsum_mE[a_l^(**)*a_m]g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-m)+E[w_(k-i)^(**)*w_(k-j)]=$
$=sigma_a^2sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-l) +sigma_w^2*delta_(i-j)=$
cambio di variabile r=k-l
$=sigma_a^2sum_(r!=D+1,...,D+mu) g_(r-i)^(**)*g_(r-j) +sigma_w^2*delta_(i-j)$
dunque la matrice di covarianza è hermitiana.
Dimenticavo, il secondo passaggio è giustificato dal fatto che le sequenze ${a_k}$ e ${w_k}$ sono indipendenti.
Questo è quello che ho trovato io, vi torna oppure ho toppato su qualche passaggio?
perdona la mia ignoranza Luca, cosa vuol dire che la matrice di covarianza è Hermitiana? intendi nel senso di operatore hermitiano? mi potresti spiegare di che si tratta?
grazie per l'interessamento, matrice hermitiana sarebbe a dire che $Phi_(i,j)=Phi_(j,i)^(**)$
temo di saperne quanto prima... con l'asterisco indichi che cosa? la trasposta? l'inversa? il complemento algebrico? purtroppo non ho mai studiato niente che avesse denominazione di "hermitiano" 
abbi pazienza, te ne prego!
la cosa mi interessa perché di matrici di varianze e covarianze me ne son passate sotto gli occhi a pacchi, e vorrei capire!
abbi pazienza, te ne prego!la cosa mi interessa perché di matrici di varianze e covarianze me ne son passate sotto gli occhi a pacchi, e vorrei capire!
sì, ho dato un po' per scontato la mia notazione, con l'asterisco indico il complesso coniugato, le sequenze sono di numeri complessi; con una sottolineatura indico un vettore, con una doppia sottolineatura una matrice
ahhhh ok...si sfora nei complessi...interessante però....in che ambiti si usano i complessi per matrici di covarianze?
sistemi di trasmissione dati in questo caso
wow...quante cose che ho ancora da imparare.. domandache probabilmente ti sembrerà stupida ma.. come mai entrano i numeri complessi in gioco? la matrice di varianze e covarianze, per come l'ho studiata io, dà indicazione della dispersione assoluta (diagonale principale, le varianze) e congiunta (fuori dalla diagonale principale, le covarianze) di vari fenomeni (o diverse manifestazioni dello stesso) e se ne può trarre un'informazione sulla magnitudine di questo legame normalizzandola ad una matrice di correlazioni..mi sfugge il senso di farlo coi complessi..
abbi pazienza, sono molto curioso e non so niente di queste cose
abbi pazienza, sono molto curioso e non so niente di queste cose
Come entrano i numeri complessi in gioco? E' un discorso lungo se si vuole partire da zero a spiegarlo, dovresti avere alle spalle un corso di teoria dei segnali. Provo in parole povere: si vogliono trasmettere dei simboli (elementi della sequenza ${a_k}$) in un canale bidimensionale, ovvero il singolo simbolo ha 2 dimensioni; quindi abbiamo bisogno di 2 funzioni base indipendenti per rappresentare ogni simbolo; per semplificarci la vita scegliamo le funzioni 1 e i (unità immaginaria), in questo modo è come avere simboli $a_k in CC$. Poi la giustificazione della scelta di quelle 2 funzioni base è più ampia, ma mi fermo a questa intuizione.
Qual è il significato della matrice di covarianza definita sui complessi? In questo caso ci dice come influisce il canale (rappresentato dalla sequenza ${g_k}$) sui dati, niente di più.
Qual è il significato della matrice di covarianza definita sui complessi? In questo caso ci dice come influisce il canale (rappresentato dalla sequenza ${g_k}$) sui dati, niente di più.
e perdona la mia ignoranza così come hai fatto con chicco.. 
(anche perchè sono un po "ritardato" 
)
$z_l=sum_(i!=k-D-1,...,k-D-mu) a_i*g_(l-i) + w_l$
come varia l'indice $i$ in questo caso?
ok non linciatemi..
(anche perchè sono un po "ritardato" )$z_l=sum_(i!=k-D-1,...,k-D-mu) a_i*g_(l-i) + w_l$
come varia l'indice $i$ in questo caso?
ok non linciatemi..
potenzialmente da $-infty$ a $+infty$, l'importante è che sia diverso da quei valori
"luca.barletta":
Qual è il significato della matrice di covarianza definita sui complessi? In questo caso ci dice come influisce il canale (rappresentato dalla sequenza ${g_k}$) sui dati, niente di più.
quindi la codifica con 1 e i è puramente convenzionale? o c'è qualche motivazione più giustificata alle spalle? scusami se insisto, è che non riesco proprio a figurarmi come interpretare una matrice di var-cov composta da numeri complessi..sono troppo legato all'ottica "reale", di numeri complessi in statistica non se ne trovano (almeno nei programmi di una laurea 3+2!!). Magari avrò il tempo di capire qualcosa di questi argomenti nei prossimi mesi, dopo aver finito
si usano i numeri complessi perchè è la struttura a 2 dimensioni più semplice da maneggiare, ma anche perché stiamo effettuando lo studio del canale in banda base, e un teorema afferma che una generica forma d'onda reale si può rappresentare in banda base con il suo inviluppo complesso:
$s(t)=s_c(t)+is_s(t)$
dove la forma d'onda in banda passante l'abbiamo scomposta come:
$s_(bp)(t)=sqrt(2)[s_c(t)cos(omega_0t)-s_s(t)sin(omega_0t)]$
ma per risolvere questo problema non è necessario sapere tutto ciò
$s(t)=s_c(t)+is_s(t)$
dove la forma d'onda in banda passante l'abbiamo scomposta come:
$s_(bp)(t)=sqrt(2)[s_c(t)cos(omega_0t)-s_s(t)sin(omega_0t)]$
ma per risolvere questo problema non è necessario sapere tutto ciò
ok non ti seguo già più se non sul piano matematico, ne riparleremo con calma quando avrò studiato qualcosa di teoria dei segnali grazie mille della cortesia comunque!
grazie mille della cortesia comunque!
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