Stime di massima verosimiglianza e stima dei momenti

[poncelet]

Allora, l'esercizio è questo:
Sia $(X_1,X_2,...X_n)$ un campione casuale estratto da una popolazione avente densità di probabilità:

$f(x;\theta)={(2\thetaxe^-(\thetax^2), if x<0),(0,if x\leq 0):}$

con $\theta \in RR^+$

(a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza di $\theta$

(b) Determinare lo stimatore dei momenti per $\theta$

Ecco la mia soluzione:

(a) Calcolo la funzione di massima verosimiglianza

$L(\theta)=prod_(i=1)^n 2\theta x_i e^-(\thetax_i^2)=$

Se poniamo $A=prod_(i=1)^n x_i$ e $B=prod_(i=1)^n x_i^2$

$L(\theta)=(2\theta)^nAe^-B\theta$

$ln(L(\theta))=nln(2)-nln(\theta)+ln(A)-B\theta$

$d/(d\theta)ln(L(\theta))=n/\theta-B$

Uguaglio a zero per trovare il massimo e ottengo:

$\theta=n/B=n/(sum_(i=1)^n x_i^2)$

Quindi lo stimatore richiesto è:

$\hat \Theta=1/\bar{X}^2$

(b) Devo innanzitutto calcolarmi la media della v.a. genitrice:

$E(X)=int_(0)^oo x2\thetaxe^-(\thetax^2)dx=1/2*sqrt(\frac{\pi}{\theta})$

A questo punto

$\mu_1^{\prime}=sqrt(\pi)/(2sqrt(\theta))$

Quindi

$\theta=\pi/(4(\mu_1^{\prime})^2)$

e lo stimatore diventa

$\hat \Theta^{\prime}=\pi/(4\bar X^2)$

Però non mi convince. Qualcuno potrebbe controllare?
Grazie

[poncelet]

Nessuno ha voglia/tempo di dare un'occhiata?

[_luca.barletta]

A parte qualche errore di trascrizione nella parte (a), entrambi mi sembrano corretti.

[poncelet]

Ti ringrazio.

[dotmanu]

scusate, potete chiarirmi come è stato risolto l'integrale per il calcolo di $E[X]$?

Grazie!

[markowitz]

Scusate, forse dico una fesseria ma sarei contento di avere un'esaustiva risposta.
Gli stimatori ottenuti sono:
1)$1/mu^2$
2)$(pi/4)*(1/mu^2)$
Adesso $mu^2$ dovrebbe convergere al valore di popolazione all'aumentare dei dati,
ma abbiamo la costante $(pi/4)<1$ che rende lo stimatore dei momenti di $theta$ cronicamente inferiore
a quello ML. Il punto è che questa costante non diventa ininfluente all'aumentare dei dati.
Pensavo che stimatori diversi fossero si algebricamente solitamente differenti e quindi non
entrambi "corretti" (non distorti) ma asintoticamente equivalenti,
condizione obbligata per essere stimatori consistenti.
Adesso secondo questa logica i due stimatori ottenuti sono o:
non entrambi consistenti (quindi uno ha un bias asintotico quindi lo butterei)
oppure si devono rifare i conti

Avete delucidazioni?