Stimatori Corretti e consistenti di Media e Varianza
Ciao a tutti 
Studiando statistica inferenziale, ho trovato degli argomenti che mi sono poco chiari: gli stimatori corretti e consistenti di media e varianza. Concettualmente ho capito di cosa si tratta...ma vorrei qualche esempio numerico di questi stimatori. Qualcuno di voi può aiutarmi? Grazie!!
Studiando statistica inferenziale, ho trovato degli argomenti che mi sono poco chiari: gli stimatori corretti e consistenti di media e varianza. Concettualmente ho capito di cosa si tratta...ma vorrei qualche esempio numerico di questi stimatori. Qualcuno di voi può aiutarmi? Grazie!!
Risposte
Ciao
Se $y$ è un vettore aleatorio di osservazioni e $theta$ è un vettore di parametri da stimare hai che uno stimatore $T(y)$ del parametro $theta$ è corretto se $E^theta[T(y)]=theta \ \ AA theta$
Ad esempio la media campionaria $bar(y) = 1/n \sum_{i=1}^n y_i$ se $y$ sono variabili aleatorie i.d. con valore medio $m$ è uno stimatore corretto (non commette un errore sistematico).
Infatti $E[bar(y)]=E[1/n \sum_{i=1}^n y_i]=1/n \sum_{i=1}^n E[y_i]=1/n \sum_{i=1}^n m = m$ poichè il valore atteso è un operatore lineare.
Per quanto riguarda invece la varianza $hat sigma_y^2=1/n \sum_{i=1}^n (y_i-bar y)^2$ hai che (ometto i passaggi ma il procedimento è analogo, c'è solo da smanettare)
$E[hat sigma_y^2] = (n-1)/n sigma^2 != sigma^2$ avendo appunto supposto che le var. aleatoria abbiano varianza $sigma^2$.
In questo caso lo stimatore è polarizzato e infatti si usa definire la varianza campionaria come $S^2= n/(n-1) hat sigma_y^2$ e ne segue che $E[S^2]= n/(n-1) E[hat sigma_y^2]= n/(n-1) (n-1)/n sigma^2 = sigma^2$
Per quanto riguarda la consistenza, se hai capito concettualmente ti basta pensare che al crescere del numero di misure $n$ esso diventa sempre più preciso e si avvicina al parametro da stimare. Banalmente se devi stimare la media dell'altezza degli italiani otterrai una stima sempre più precisa usando 10,100,1000 persone e così via (perchè la media campionaria è uno stimatore consistente).
Se $y$ è un vettore aleatorio di osservazioni e $theta$ è un vettore di parametri da stimare hai che uno stimatore $T(y)$ del parametro $theta$ è corretto se $E^theta[T(y)]=theta \ \ AA theta$
Ad esempio la media campionaria $bar(y) = 1/n \sum_{i=1}^n y_i$ se $y$ sono variabili aleatorie i.d. con valore medio $m$ è uno stimatore corretto (non commette un errore sistematico).
Infatti $E[bar(y)]=E[1/n \sum_{i=1}^n y_i]=1/n \sum_{i=1}^n E[y_i]=1/n \sum_{i=1}^n m = m$ poichè il valore atteso è un operatore lineare.
Per quanto riguarda invece la varianza $hat sigma_y^2=1/n \sum_{i=1}^n (y_i-bar y)^2$ hai che (ometto i passaggi ma il procedimento è analogo, c'è solo da smanettare)
$E[hat sigma_y^2] = (n-1)/n sigma^2 != sigma^2$ avendo appunto supposto che le var. aleatoria abbiano varianza $sigma^2$.
In questo caso lo stimatore è polarizzato e infatti si usa definire la varianza campionaria come $S^2= n/(n-1) hat sigma_y^2$ e ne segue che $E[S^2]= n/(n-1) E[hat sigma_y^2]= n/(n-1) (n-1)/n sigma^2 = sigma^2$
Per quanto riguarda la consistenza, se hai capito concettualmente ti basta pensare che al crescere del numero di misure $n$ esso diventa sempre più preciso e si avvicina al parametro da stimare. Banalmente se devi stimare la media dell'altezza degli italiani otterrai una stima sempre più precisa usando 10,100,1000 persone e così via (perchè la media campionaria è uno stimatore consistente).
grazie ad entrambi! 
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