Stimatore variabile binomiale
Ciao a tutti, credo di sapere già la risposta ma preferirei togliermi ogni dubbio riguardo a questo esercizio.
Allo scopo di stimare la media di una variabile casuale Binomiale di parametri p e n=4 si considera
un campione casuale semplice di numerosità pari a 200 e lo stimatore media campionaria.
1) Si dimostri che lo stimatore è corretto.
2) Supponendo che la media campionaria del campione estratto sia risultata pari a 0.6,
determinare la varianza dello stimatore.
Quando dice di stimare la media della variabile binomiale intende il valore p e non il valore atteso che sarebbe invece np, no?
A quel punto la dimostrazione sarebbe $ E(T)=E(sum(X i) /n )= 1/n E(sum(x i))=(np)/n=p $
E anche la varianza dello stimatore risulterebbe: $ (0.6*0.4)/200=0.0012 $
Infine il valore "n=4" della variabile mi è completamente inutile, o sbaglio?
Grazie in anticipo
Allo scopo di stimare la media di una variabile casuale Binomiale di parametri p e n=4 si considera
un campione casuale semplice di numerosità pari a 200 e lo stimatore media campionaria.
1) Si dimostri che lo stimatore è corretto.
2) Supponendo che la media campionaria del campione estratto sia risultata pari a 0.6,
determinare la varianza dello stimatore.
Quando dice di stimare la media della variabile binomiale intende il valore p e non il valore atteso che sarebbe invece np, no?
A quel punto la dimostrazione sarebbe $ E(T)=E(sum(X i) /n )= 1/n E(sum(x i))=(np)/n=p $
E anche la varianza dello stimatore risulterebbe: $ (0.6*0.4)/200=0.0012 $
Infine il valore "n=4" della variabile mi è completamente inutile, o sbaglio?
Grazie in anticipo
Risposte
è tutto sbagliato, mi spiace.
Il primo punto si dimostra a prescindere dalla distribuzione, in quanto è noto che la media della media campionaria è la media della popolazione e la dimostrazione è questa:
$E[bar(X)_(N)]=1/NE[Sigma_(i=1)^N X_i]=1/N N E[X_1]=mu$
Nel tuo caso, anche se inutile ai fini dell'esercizio, puoi fare così
$E[bar(X)_(200)]=1/200*200* 4p=4p$
per il secondo punto, se la media campionaria è $0,6$ significa che $hat(p)=0.15$
Il primo punto si dimostra a prescindere dalla distribuzione, in quanto è noto che la media della media campionaria è la media della popolazione e la dimostrazione è questa:
$E[bar(X)_(N)]=1/NE[Sigma_(i=1)^N X_i]=1/N N E[X_1]=mu$
Nel tuo caso, anche se inutile ai fini dell'esercizio, puoi fare così
$E[bar(X)_(200)]=1/200*200* 4p=4p$
per il secondo punto, se la media campionaria è $0,6$ significa che $hat(p)=0.15$
Grazie mille per l'aiuto e scusa se rispondo solo ora ma non potevo prima.
Dunque la varianza dello stimatore risulta: $ Var(T)=Var(sum(X i)/N)=1/N^2N *Var(X i)=(4*0.15*0.85)/200=0.00255 $
Dunque la varianza dello stimatore risulta: $ Var(T)=Var(sum(X i)/N)=1/N^2N *Var(X i)=(4*0.15*0.85)/200=0.00255 $
così va meglio.
Un problema più interessante è quello di ricavare la Distribuzione Esatta dello stimatore $T$....se tu o qualcun altro ne avesse voglia.....
Un problema più interessante è quello di ricavare la Distribuzione Esatta dello stimatore $T$....se tu o qualcun altro ne avesse voglia.....
Mi verrebbe da dire che è anch'essa una binomiale con valore atteso e varianza trovati in precedenza, ma immagino che non sia così semplice. Ovviamente con un grande campione si può approssimare ad una normale ma te chiedi la distribuzione esatta.
Complimenti comunque per la citazione da "il cavaliere inesistente", gran bel libro.
Complimenti comunque per la citazione da "il cavaliere inesistente", gran bel libro.
[ot]
thanks[/ot]
....e invece è proprio la binomiale che hai intuito....ora se hai un attimo di pazienza ti mostro il perché
Supponiamo che $X~B(n;p)$
E' noto (e comunque di immediata dimostrazione, utilizzando la FGM) che, se $X_1,X_2,...,X_N$ sono variabili binomiali iid,
$Sigma_(i=1)^(N)X_i~B(nN;p)$
Quindi
$P[Sigma_(i=1)^(N)X_i=k]=P[bar(X)_N=k/N]=((nN),(k))p^kq^(nN-k)I_({k=0;1;2;...;nN})(k)$
Quindi la media campionaria avrà ancora tutte le probabilità distribuite come una binomiale $B(nN,p)$ ma con supporto modificato in
$bar(x)=0,1/N,2/N,...,n$
di media e varianza come sai....
"Testadura":
Complimenti comunque per la citazione da "il cavaliere inesistente", gran bel libro.
thanks[/ot]
....e invece è proprio la binomiale che hai intuito....ora se hai un attimo di pazienza ti mostro il perché
Supponiamo che $X~B(n;p)$
E' noto (e comunque di immediata dimostrazione, utilizzando la FGM) che, se $X_1,X_2,...,X_N$ sono variabili binomiali iid,
$Sigma_(i=1)^(N)X_i~B(nN;p)$
Quindi
$P[Sigma_(i=1)^(N)X_i=k]=P[bar(X)_N=k/N]=((nN),(k))p^kq^(nN-k)I_({k=0;1;2;...;nN})(k)$
Quindi la media campionaria avrà ancora tutte le probabilità distribuite come una binomiale $B(nN,p)$ ma con supporto modificato in
$bar(x)=0,1/N,2/N,...,n$
di media e varianza come sai....
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