Stimatore su distribuzione di Bernoulli

[frons79]

Sia $(X_1, X_2, X_3)$ un campione casuale estratto dalla variabile casuale $X$ è distribuita secondo la legge Bernoulliana di parametro π, con $(0<\pi<1)$.
Sia $T = \frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$ uno stimatore di $\pi$.
Si chiede di:
1) Indicare qual è il valore minimo e massimo che può assumere tale stimatore;
2) Verificare se lo stimatore T sia corretto e in caso calcolarne la distorsione;
3) Calcolare l’errore quadratico medio di T.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ho difficoltà a capire che fare per risolvere il primo punto, per i successivi ho ragionato così:
2) Dalla teoria so che $\mathbb{E}(X)=\pi$, per cui:
\[
\begin{split}
\mathbb{E}(T) & =\mathbb{E} \Bigg (\frac{X_1+2X_2+X_3}{5} \Bigg ) \\
& = \frac{1}{5} \mathbb{E}(X_1)+ \frac{2}{5} \mathbb{E}(X_2) +\frac{1}{5} \mathbb{E}(X_3) \\
& = \frac{1}{5} \pi + \frac{2}{5} \pi +\frac{1}{5} \pi \\
& = \frac{4}{5} \pi \ne \pi \Rightarrow \text{T è uno stimatore distorto di} \pi \\
d(T) & =\mathbb{E}(T)-\mathbb{E}(\pi) \\
& = \frac{4}{5} \pi - \pi = -\frac{1}{5} \pi
\end{split}
\]
3) Dalla teoria so che $mathbb{V}(X)=\pi (1-\pi)$, per cui:
\[
\begin{split}
\mathbb{V}(T) & =\mathbb{V} \Bigg (\frac{X_1+2X_2+X_3}{5} \Bigg ) \\
& = \frac{1}{25} \mathbb{V}(X_1)+ \frac{4}{25} \mathbb{V}(X_2) +\frac{1}{25} \mathbb{V}(X_3) \\
& = \frac{1}{25} \pi (1- \pi) + \frac{4}{25} \pi (1- \pi) +\frac{1}{25} \pi (1- \pi) \\
& = \frac{6}{25} \pi (1- \pi) \\
MSE(T) & = d^2(T) + \mathbb{V}(T) \\
& = \frac{1}{25} \pi^2 + \frac{6}{25} \pi (1- \pi)
\end{split}
\]
Mi aiutereste a capire il punto 1)?

[Lo_zio_Tom]

"frons79":Sia $(X_1, X_2, X_3)$ un campione casuale estratto dalla variabile casuale $X$ è distribuita secondo la legge Bernoulliana di parametro π, con $(0<\pi<1)$.
Sia $T = \frac{X_1+2X_2+X_3}{5}$ uno stimatore di $\pi$.
Si chiede di:
1) Indicare qual è il valore minimo e massimo che può assumere tale stimatore;

------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ho difficoltà a capire che fare per risolvere il primo punto

ma dai....tutti gli elementi sono distribuiti come una bernulli...possono valere $0$ oppure $1$.....sostituisci e stop

il resto è ok!

per il punto 1) lo stimatore $in[0;4/5]$

Varrà $0$ quando $X_(1)=X_(2)=X_(3)=0$

Varrà $4/5$ quando $X_(1)=X_(2)=X_(3)=1$

[frons79]

"tommik":il resto è ok!

per il punto 1) lo stimatore $in[0;4/5]$

Varrà $0$ quando $X_(1)=X_(2)=X_(3)=0$

Varrà $4/5$ quando $X_(1)=X_(2)=X_(3)=1$

Ok grazie