Stimatore ottimale esponenziale
Sia $ X ~ f_X(X;theta)=1/(theta) exp(-x/(theta)) theta>0, x>0$ , con un campione aleatorio $ X_1,..,X_n$
Determinare lo stimatore ottimale per $ g(theta)=P(X>x)$
Innanzitutto $ g(theta)=int_(x)^(+oo) 1/(theta) exp(-x/(theta)) dx =exp(-x/(theta)) $ che è misurabile.
Mi ricavo una statistica sufficiente e completa per $ theta $: $ T(X) $ osservando che $ f_X(X) $ appartiene alla famiglia esponenziale e quindi pongo $ T(X)=sum_(i=1,..,n)(x_i) $
Per lo stimatore non distorto utilizzo la funzione:
$ phi(x)={ ( 1 ),( 0 ):} $
Dove varrà 1 se $ X1>x $ e 0 altrimenti.
ho che $ E[phi(x)]=1*Prob(X1>x)=exp(-x/(theta)) $ quindi è non distorto. Verifico anche che la varianza è finita.
Adesso utilizzando il lemma di Lehman-Scheffè mi ricavo che lo stimatore ottimale è
$ E_(theta)[phi(x)|T(X)=t]=1*Prob(X1>x|sum_(i=1,..,n)(x_i)=t)=(Prob(X1>x,sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))/(Prob(sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))=(Prob(X1>x)*Prob(sum_(i=2,..,n)(x_i)
O comunque ho visto che mi posso ricondurre anche ad una Erlang, ma in ogni caso non riesco ad eliminare il fattore $exp(x/theta)=Prob(X1>x)$ presente , in quanto per ottenere uno stimatore devo fare in modo che non dipenda dalla quantità da stimare per definizione...
Per caso ho sbagliato qualche passaggio? Avete suggerimenti?
Determinare lo stimatore ottimale per $ g(theta)=P(X>x)$
Innanzitutto $ g(theta)=int_(x)^(+oo) 1/(theta) exp(-x/(theta)) dx =exp(-x/(theta)) $ che è misurabile.
Mi ricavo una statistica sufficiente e completa per $ theta $: $ T(X) $ osservando che $ f_X(X) $ appartiene alla famiglia esponenziale e quindi pongo $ T(X)=sum_(i=1,..,n)(x_i) $
Per lo stimatore non distorto utilizzo la funzione:
$ phi(x)={ ( 1 ),( 0 ):} $
Dove varrà 1 se $ X1>x $ e 0 altrimenti.
ho che $ E[phi(x)]=1*Prob(X1>x)=exp(-x/(theta)) $ quindi è non distorto. Verifico anche che la varianza è finita.
Adesso utilizzando il lemma di Lehman-Scheffè mi ricavo che lo stimatore ottimale è
$ E_(theta)[phi(x)|T(X)=t]=1*Prob(X1>x|sum_(i=1,..,n)(x_i)=t)=(Prob(X1>x,sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))/(Prob(sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))=(Prob(X1>x)*Prob(sum_(i=2,..,n)(x_i)
O comunque ho visto che mi posso ricondurre anche ad una Erlang, ma in ogni caso non riesco ad eliminare il fattore $exp(x/theta)=Prob(X1>x)$ presente , in quanto per ottenere uno stimatore devo fare in modo che non dipenda dalla quantità da stimare per definizione...
Per caso ho sbagliato qualche passaggio? Avete suggerimenti?
Risposte
$ (Prob(X1>x,sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))/(Prob(sum_(i=1,..,n)(x_i)=t))=exp(-x/theta)*((1-exp(-(t-x)/(theta))*sum_0^(n-2) ((t-x)/(theta))^i /(i!))/(1-exp(-(t)/(theta))*sum_0^(n-1) ((t)/(theta))^i /(i!)))=exp(-x/theta)*((exp(-(t-x)/(theta))*sum_(n-1)^(+oo) ((t-x)/(theta))^i /(i!))/(exp(-(t)/(theta))*sum_(n)^(+oo) ((t)/(theta))^i /(i!)))=(sum_(n-1)^(+oo) (((t-x)/theta)^i/(i!)))/(sum_(n)^(+oo) ((t/theta)^i/(i!))) $
Ok sono riuscito ad eliminare il parametro $ exp(-x/theta) $ da stimare adoperando due erlang con condizioni di n-1 riuscite al numeratore e n riuscite al denominatore.
Il problema è che rimane sempre presente il fattore $ theta $ che non so come eliminare,prendendo per vero che fino ad ora non ci siano errori
Ok sono riuscito ad eliminare il parametro $ exp(-x/theta) $ da stimare adoperando due erlang con condizioni di n-1 riuscite al numeratore e n riuscite al denominatore.
Il problema è che rimane sempre presente il fattore $ theta $ che non so come eliminare,prendendo per vero che fino ad ora non ci siano errori
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