Stimatore massima verosomiglianza
Salve ho questo quesito da porvi , frequento un corso di calcolo della probabilità statistica anzi non l'ho frequentato e dovrei riuscire a capire qualche esercizio , non ho capito come svolgere questo esercizio pienamente...
Determinare lo stimatore di massima verosomiglianza del parametro λ>0 per un campione casuale (x1 .....xn) , dove ogni variabile aleatoria Xk ha densità $ f(t)=(2*λ *|t|^3 )* e^((-λ*t^4)$
allora ho iniziato raccogliendo e sostituendo t=x
$F(x1.....xn)= (2*λ*|x1|^3) * e^(-λ*x1^4) * (2*λ*|x2|^3) * e^(-λ*x2^4)........ *(2*λ*|xn|^3) * e^(-λ*xn^4) = $
$ 2*λ*(x1^3 , x2^3......xn^3) * e^(-λ(x1^4 , x2^4......xn^4)) $
ora qui avviene il problema , tutto mio , non capisco come andare avanti dagli esercizi di miei amici
$LOG (λ) = log 2 + log λ + log (x1^3 , x2^3......xn^3) + log e^(-λ*(x1^4 , x2^4......xn^4)) $
adesso derivano tutto
$1/2 + 1/λ + 1/(x1^3 , x2^3......xn^3) -λ*(x1^4 , x2^4......xn^4) $
log e=1 quindi sparisce
ECCO da qui in avanti non riesco piu ad andare sempre se va bene ... mi dareste una mano??
scusate mi sono accorto appena ora che dovevo scrivere con MathML vedo di installarlo ... se mi riuscite a dare una mano intanto...
Determinare lo stimatore di massima verosomiglianza del parametro λ>0 per un campione casuale (x1 .....xn) , dove ogni variabile aleatoria Xk ha densità $ f(t)=(2*λ *|t|^3 )* e^((-λ*t^4)$
allora ho iniziato raccogliendo e sostituendo t=x
$F(x1.....xn)= (2*λ*|x1|^3) * e^(-λ*x1^4) * (2*λ*|x2|^3) * e^(-λ*x2^4)........ *(2*λ*|xn|^3) * e^(-λ*xn^4) = $
$ 2*λ*(x1^3 , x2^3......xn^3) * e^(-λ(x1^4 , x2^4......xn^4)) $
ora qui avviene il problema , tutto mio , non capisco come andare avanti dagli esercizi di miei amici
$LOG (λ) = log 2 + log λ + log (x1^3 , x2^3......xn^3) + log e^(-λ*(x1^4 , x2^4......xn^4)) $
adesso derivano tutto
$1/2 + 1/λ + 1/(x1^3 , x2^3......xn^3) -λ*(x1^4 , x2^4......xn^4) $
log e=1 quindi sparisce
ECCO da qui in avanti non riesco piu ad andare sempre se va bene ... mi dareste una mano??
scusate mi sono accorto appena ora che dovevo scrivere con MathML vedo di installarlo ... se mi riuscite a dare una mano intanto...
Risposte
l'ottenimento degli stimatori secondo il metodo della massima verosimiglianza (mi limito al caso uniparametrico, ma l'estensione è immediata) può essere brevemente riassunto così:
1) sia dato un campione $ulx=(x_1,...,x_n)$ e siano le $x_i$ ($i=1,...n$) realizzazioni di altrettante variabile casuali $X_i$ i.i.d. (identicamente indipendentemente distribuite) con funzione di probabilità (caso discreto) o densità di probabilità (caso continuo) $f(x_i;theta)$, con $theta$ incognito parametro oggetto di stima.
2) si costruisca la funzione di verosimiglianza $L(ulx;theta)=prod_(i=1)^nf(x_i;theta)$, dove $ulx$ viene considerato fissato (sono i dati) e si assume come variabile nello spazio parametrico $theta$.
3) si ricerchi il massimo di $L(ulx;theta)$ al variare di $theta$, ovvero il valore $hat{theta}$ tale per cui $L(ulx;hat{theta})=max_theta L(ulx;theta)$. Tale valore, se esiste, è denominato stima di massima verosimiglianza per il parametro $theta$.
è un problema di ottimo, dunque per trovare i massimi di $L(ulx;theta)$ se ne calcola la derivata (le derivate nel caso multiparametrico) rispetto a $theta$, la si impone uguale a zero e si risolve per $theta$, ovvero:
$(delL(ulx;theta))/(deltheta)=^!0$
dal momento che può risultare molto oneroso calcolare le derivate di $L(ulx;theta)$, osservando che tra le due funzioni $lnL(ulx;theta)$ e $L(ulx;theta)$ ($ln$ è il logaritmo naturale) intercorre una relazione monotona, si può sostituire al problema di massimo di cui sopra quello equivalente:
$(dellnL(ulx;theta))/(deltheta)=^!0$
nota: $lnL(ulx;theta)$ è denominata funzione di log-verosimiglianza e $(dellnL(ulx;theta))/(deltheta)$ funzione score.
nota: $hat{theta}$ può non essere unico.
s.e.o.
1) sia dato un campione $ulx=(x_1,...,x_n)$ e siano le $x_i$ ($i=1,...n$) realizzazioni di altrettante variabile casuali $X_i$ i.i.d. (identicamente indipendentemente distribuite) con funzione di probabilità (caso discreto) o densità di probabilità (caso continuo) $f(x_i;theta)$, con $theta$ incognito parametro oggetto di stima.
2) si costruisca la funzione di verosimiglianza $L(ulx;theta)=prod_(i=1)^nf(x_i;theta)$, dove $ulx$ viene considerato fissato (sono i dati) e si assume come variabile nello spazio parametrico $theta$.
3) si ricerchi il massimo di $L(ulx;theta)$ al variare di $theta$, ovvero il valore $hat{theta}$ tale per cui $L(ulx;hat{theta})=max_theta L(ulx;theta)$. Tale valore, se esiste, è denominato stima di massima verosimiglianza per il parametro $theta$.
è un problema di ottimo, dunque per trovare i massimi di $L(ulx;theta)$ se ne calcola la derivata (le derivate nel caso multiparametrico) rispetto a $theta$, la si impone uguale a zero e si risolve per $theta$, ovvero:
$(delL(ulx;theta))/(deltheta)=^!0$
dal momento che può risultare molto oneroso calcolare le derivate di $L(ulx;theta)$, osservando che tra le due funzioni $lnL(ulx;theta)$ e $L(ulx;theta)$ ($ln$ è il logaritmo naturale) intercorre una relazione monotona, si può sostituire al problema di massimo di cui sopra quello equivalente:
$(dellnL(ulx;theta))/(deltheta)=^!0$
nota: $lnL(ulx;theta)$ è denominata funzione di log-verosimiglianza e $(dellnL(ulx;theta))/(deltheta)$ funzione score.
nota: $hat{theta}$ può non essere unico.
s.e.o.
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