Stimatore Massima Verosimiglianza..
Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con le distribuzioni che non vengono ricondotte a quelle di tipo esponenziale..
Mi spiego meglio, per trovare lo stimatore di massima verosimiglianza io sono abituato a:
- trovare la funzione di verosimiglianza (e usarla di solito anche per trovare la statistica sufficiente, minimale e completa)
- trovare la funzione di logverosimiglianza
- derivare rispetto a theta, o comunque al parametro incognito, e imporre uguale a zero
..in questo modo trovo lo stimatore MLE e tutto bene!
..se la funzione non è esponenziale, però, può capitare che facendo la derivata della logverosimiglianza la x sparisca e quindi non so come trovare lo stimatore!
..esempio:
- f(x;θ) = 2*(θ^2)/(x^3) con x>θ
..succede esattamente quello che ho detto sopra: faccio la verosimiglianza che contiene la produttoria, passo al logaritmo, ma non esistono parti della f che sono funzioni sia di x che di θ, quindi derivando la x sparisce.
L'unica cosa che riconosco è che la funzione di verosimiglianza L(x;θ) = (2^n)*(θ^(2*n))/prod(xi^3) ha massimo in corrispondenza di x=θ quindi prod(xi^3)=θ^n.
Posso sfruttare questo? come?? vi ringrazio!!
Mi spiego meglio, per trovare lo stimatore di massima verosimiglianza io sono abituato a:
- trovare la funzione di verosimiglianza (e usarla di solito anche per trovare la statistica sufficiente, minimale e completa)
- trovare la funzione di logverosimiglianza
- derivare rispetto a theta, o comunque al parametro incognito, e imporre uguale a zero
..in questo modo trovo lo stimatore MLE e tutto bene!
..se la funzione non è esponenziale, però, può capitare che facendo la derivata della logverosimiglianza la x sparisca e quindi non so come trovare lo stimatore!
..esempio:
- f(x;θ) = 2*(θ^2)/(x^3) con x>θ
..succede esattamente quello che ho detto sopra: faccio la verosimiglianza che contiene la produttoria, passo al logaritmo, ma non esistono parti della f che sono funzioni sia di x che di θ, quindi derivando la x sparisce.
L'unica cosa che riconosco è che la funzione di verosimiglianza L(x;θ) = (2^n)*(θ^(2*n))/prod(xi^3) ha massimo in corrispondenza di x=θ quindi prod(xi^3)=θ^n.
Posso sfruttare questo? come?? vi ringrazio!!
Risposte
Chiedo scusa per la scrittura della formula...
la densità è $f(x)=2*theta^2/x^3 I_([theta;\infty\])(x)$
..quindi $L(x)=2^n*theta^(2*n)/(prod(x^3)) I_([theta^n;\infty\])(x)$ giusto vero?
..ora mi manca capire come continuare: io noto che è una funzione decrescente che ha massimo in $theta^n$, ma non capisco come utilizzare questa informazione per ricavare lo stimatore
la densità è $f(x)=2*theta^2/x^3 I_([theta;\infty\])(x)$
..quindi $L(x)=2^n*theta^(2*n)/(prod(x^3)) I_([theta^n;\infty\])(x)$ giusto vero?
..ora mi manca capire come continuare: io noto che è una funzione decrescente che ha massimo in $theta^n$, ma non capisco come utilizzare questa informazione per ricavare lo stimatore
L'errore che fai è nella verosimiglianza....non è corretta.
La verosimiglianza giusta è questa
$L(theta)=(2^ntheta^(2n))/(Pi_i x_(i)^3)I_((0;min(x)])(theta)$
ora, come puoi vedere, la verosimiglianza (che va scritta in funzione di $theta$ e non di $x$) è strettamente crescente rispetto a $theta$ e quindi lo stimatore di max verosimiglianza è
$hat(theta)=min(x)$
Quando il dominio dipende dal parametro, ovviamente il parametro dipende dai dati....in questo caso hai che
$X_1>=theta$
$X_2>=theta$
...
$X_n>=theta$
quindi $theta<=min(X_i)$.
La verosimiglianza giusta è questa
$L(theta)=(2^ntheta^(2n))/(Pi_i x_(i)^3)I_((0;min(x)])(theta)$
ora, come puoi vedere, la verosimiglianza (che va scritta in funzione di $theta$ e non di $x$) è strettamente crescente rispetto a $theta$ e quindi lo stimatore di max verosimiglianza è
$hat(theta)=min(x)$
Quando il dominio dipende dal parametro, ovviamente il parametro dipende dai dati....in questo caso hai che
$X_1>=theta$
$X_2>=theta$
...
$X_n>=theta$
quindi $theta<=min(X_i)$.
Ti ringrazio!!!
..mi mancava il concetto che bisogna trasformare la funzione indicatrice in (x) della funzione di densità in una funzione indicatrice in (theta) nella funzione di verosimiglianza.
..posso chiederti altre due cose riferite allo stesso esercizio?
La prima è capire come trattare lo stimatore di massima verosimiglianza... se mi viene chiesto di ricavarne la legge? come faccio? io so solo la regola che riguarda il minimo di funzioni di esponenziali, non so se posso sfruttarla anche qui o meno!
Ad esempio se devo verificare se questo stimatore sia o meno corretto/distorto... come calcolo il valore atteso del minimo di (x)? Posso fare il minimo dei valori attesi?
La seconda invece è che mi viene chiesto di ricavare anche lo stimatore con il metodo dei momenti e poi controllare se è corretto o distorto. Come fare?
..mi mancava il concetto che bisogna trasformare la funzione indicatrice in (x) della funzione di densità in una funzione indicatrice in (theta) nella funzione di verosimiglianza.
..posso chiederti altre due cose riferite allo stesso esercizio?
La prima è capire come trattare lo stimatore di massima verosimiglianza... se mi viene chiesto di ricavarne la legge? come faccio? io so solo la regola che riguarda il minimo di funzioni di esponenziali, non so se posso sfruttarla anche qui o meno!
Ad esempio se devo verificare se questo stimatore sia o meno corretto/distorto... come calcolo il valore atteso del minimo di (x)? Posso fare il minimo dei valori attesi?
La seconda invece è che mi viene chiesto di ricavare anche lo stimatore con il metodo dei momenti e poi controllare se è corretto o distorto. Come fare?
L'esercizio è sempre quello!
..dopo aver trovato lo stimatore MLE mi viene chiesto di dimostrare se è corretto o distorto. Ovviamente lo stimatore è corretto se E[$hat(theta)$]=$theta$
Ma onestamente non so come fare a trattare il Min(x). Io ricordo solo che se ho n variabili i.i.d. esponenziali(λ) allora Min(x)~E(nλ)..
..e poi il punto dopo mi chiede di ricavare anche lo stimatore con il metodo dei momenti e controllare se è distorto..
..dopo aver trovato lo stimatore MLE mi viene chiesto di dimostrare se è corretto o distorto. Ovviamente lo stimatore è corretto se E[$hat(theta)$]=$theta$
Ma onestamente non so come fare a trattare il Min(x). Io ricordo solo che se ho n variabili i.i.d. esponenziali(λ) allora Min(x)~E(nλ)..
..e poi il punto dopo mi chiede di ricavare anche lo stimatore con il metodo dei momenti e controllare se è distorto..
non è che ti posso fare tutto l'esercizio...lo devi fare tu e io te lo controllo
Ti faccio vedere come controllare che lo stimatore trovato è distorto[nota]$F_(min)=1-(1-F)^n$ e dovresti anche saperlo dimostrare[/nota].
$F_X(x)=1-theta^2/x^2$
$F_(min)=1-theta^(2n)/(x^(2n))$
$f_(min)=(2ntheta^(2n))/x^(2n+1)$
Quindi
$E[X]=int_(theta)^(+oo)(2ntheta^(2n))/x^(2n)dx=...=(2n)/(2n-1)theta$
quindi lo stimatore è distorto (come spesso accade per gli stimatori di MV) ma asintoticamente non distorto (e consistente)
prova a fare il resto che è molto semplice
ciao
PS: i conti li ho fatti in 5 minuti....quindi prova a rifarli e vedrai che non troverai problemi
ciao
Ti faccio vedere come controllare che lo stimatore trovato è distorto[nota]$F_(min)=1-(1-F)^n$ e dovresti anche saperlo dimostrare[/nota].
$F_X(x)=1-theta^2/x^2$
$F_(min)=1-theta^(2n)/(x^(2n))$
$f_(min)=(2ntheta^(2n))/x^(2n+1)$
Quindi
$E[X]=int_(theta)^(+oo)(2ntheta^(2n))/x^(2n)dx=...=(2n)/(2n-1)theta$
quindi lo stimatore è distorto (come spesso accade per gli stimatori di MV) ma asintoticamente non distorto (e consistente)
prova a fare il resto che è molto semplice
ciao
PS: i conti li ho fatti in 5 minuti....quindi prova a rifarli e vedrai che non troverai problemi
ciao
Grazie davvero, ora ho trovato il modo di gestire il minimo e il massimo grazie al tuo consiglio!
..per non limitarmi ad usare la tua formula ho riprovato a ripartire dalla probabilità del minimo e del massimo e ho ricavato le leggi generali per funzioni i.i.d.
Domani provo con il metodo dei momenti e ti faccio sapere se ho problemi o se mi quadra tutto!
In linea di massima credo di dover uguagliare la media campionaria alla derivata del valore atteso E[$e^(tx)$], spero di non aver problemi con i calcoli, magari ti scrivo il risultato o i passaggi e se hai due minuti mi dici se è corretto! Grazie ancora!
..per non limitarmi ad usare la tua formula ho riprovato a ripartire dalla probabilità del minimo e del massimo e ho ricavato le leggi generali per funzioni i.i.d.
Domani provo con il metodo dei momenti e ti faccio sapere se ho problemi o se mi quadra tutto!
In linea di massima credo di dover uguagliare la media campionaria alla derivata del valore atteso E[$e^(tx)$], spero di non aver problemi con i calcoli, magari ti scrivo il risultato o i passaggi e se hai due minuti mi dici se è corretto! Grazie ancora!
sei già sulla strada sbagliata.
Per il metodo dei momenti devi prima capire che cosa significhi $theta$ per la distribuzione in oggetto....ovvero esprimere il parametro in funzione dei momenti....poi sostituisci i momenti campionari a quelli della popolazione...e stop
se non ho fatto i conti male la media viene
$mu=2/(3theta)$ e quindi
$theta=2/(3mu)$
quindi $hat(theta)_(MM)=2/(3bar(x))$
ma ho fatto tutto al volo....please check
ora devo scappare
Per il futuro ricorda sempre di postare tutto il testo dell'esercizio e inserire le tue bozze di soluzione sforzandoti un po'.
Per il metodo dei momenti devi prima capire che cosa significhi $theta$ per la distribuzione in oggetto....ovvero esprimere il parametro in funzione dei momenti....poi sostituisci i momenti campionari a quelli della popolazione...e stop
se non ho fatto i conti male la media viene
$mu=2/(3theta)$ e quindi
$theta=2/(3mu)$
quindi $hat(theta)_(MM)=2/(3bar(x))$
ma ho fatto tutto al volo....please check
ora devo scappare
Per il futuro ricorda sempre di postare tutto il testo dell'esercizio e inserire le tue bozze di soluzione sforzandoti un po'.
Ho rifatto i conti e la media mi viene
$mu=2theta$
quindi
$theta=mu/2$
da cui
$hat(theta)_(MM)=bar(x)/2$
..io ero convinto che per utilizzare il metodo dei momenti bisognasse prima calcolare la funzione generatrice dei momenti: ovvero E[$e^(tx)$]
$mu=2theta$
quindi
$theta=mu/2$
da cui
$hat(theta)_(MM)=bar(x)/2$
..io ero convinto che per utilizzare il metodo dei momenti bisognasse prima calcolare la funzione generatrice dei momenti: ovvero E[$e^(tx)$]
"skerini":
Ho rifatto i conti e la media mi viene
$mu=2theta$
..io ero convinto che per utilizzare il metodo dei momenti bisognasse prima calcolare la funzione generatrice dei momenti: ovvero E[$e^(tx)$]
ops....
avevo fatto i conti a mente....e quindi vedi che scemenza ho scritto....ho fatto $-2+1=-3$ 
PS: eri convinto male...il metodo dei momenti è come ti ho illustrato
così è perfetto
Ti ringrazio davvero!!
..ho l'esame il 31; se mi capita di avere un altro problema magari lo pubblico.
Penso mi sfugga un piccolo particolare nella costruzione della regione critica per un test d'ipotesi (o usando il teorema di Neyman-Person o basato sul rapporto di verosimiglianza). Se trovo un esercizio di quel tipo provo a scriverlo con la mia soluzione così cerco di capire se e dove sbaglio...
..ho l'esame il 31; se mi capita di avere un altro problema magari lo pubblico.
Penso mi sfugga un piccolo particolare nella costruzione della regione critica per un test d'ipotesi (o usando il teorema di Neyman-Person o basato sul rapporto di verosimiglianza). Se trovo un esercizio di quel tipo provo a scriverlo con la mia soluzione così cerco di capire se e dove sbaglio...
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