Stimatore di massima verosimiglianza
Ciao, ho dei dubbi sul calcolo della stima di massima verosimiglianza. Premetto che sono molto arrugginita e che non affronto la materia da parecchio tempo.
Si assuma che $y_1,...,y_n$ siano realizzazioni di variabili casuali continue indipendenti con densità comune
$p(y;beta) = 1/beta^2 * 1/y^3 * exp(- 1/(betay))$ $β > 0, y > 0$
(a) Si indichino lo spazio parametrico e lo spazio campionario e si scriva la funzione di log-verosimiglianza per β.
(b) Si ottenga lo stimatore di massima verosimiglianza, per β e se ne calcoli il valore per i dati osservati (1.6,3.9,1.5,2.2,2.8,2.7,1.3,0.4).
a)
$Y = (0, +infty)^n$
$Theta = (0, +infty)$
$L(beta) = prod_{i=1}^n p(y;beta) $
$l(beta) = sum_{i=1}^n log(1/(beta^2)) * sum_{i=1}^n log(1/(y^3)) - 1/(betasum_{i=1}^n y_i)$
$l(beta) = n log(1/(beta^2)) - 1/(betasum_{i=1}^n y_i)$
b) Calcolo la derivata : a questo punto devo riparametrizzare o riesco comunque a calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza?
Si assuma che $y_1,...,y_n$ siano realizzazioni di variabili casuali continue indipendenti con densità comune
$p(y;beta) = 1/beta^2 * 1/y^3 * exp(- 1/(betay))$ $β > 0, y > 0$
(a) Si indichino lo spazio parametrico e lo spazio campionario e si scriva la funzione di log-verosimiglianza per β.
(b) Si ottenga lo stimatore di massima verosimiglianza, per β e se ne calcoli il valore per i dati osservati (1.6,3.9,1.5,2.2,2.8,2.7,1.3,0.4).
a)
$Y = (0, +infty)^n$
$Theta = (0, +infty)$
$L(beta) = prod_{i=1}^n p(y;beta) $
$l(beta) = sum_{i=1}^n log(1/(beta^2)) * sum_{i=1}^n log(1/(y^3)) - 1/(betasum_{i=1}^n y_i)$
$l(beta) = n log(1/(beta^2)) - 1/(betasum_{i=1}^n y_i)$
b) Calcolo la derivata : a questo punto devo riparametrizzare o riesco comunque a calcolare lo stimatore di massima verosimiglianza?
Risposte
Dato $ p(y,B)= 1/b^2 * 1/y^3 * exp(- 1/(by)) $
Hai che la funzione di verosomiglianza è:
$ L_n(Y,b)=(1/b^2)^n * prod_(i = 1)^(n)(1/y_i^3) * exp(-sum_(i = \1)^(n) 1/(by_i)) $
passando ai logaritmi hai
$ L_n(Y,b)=n*log(1/b^2) + sum(log(1/y_i^3)) -sum_(i = \1)^(n) 1/(by_i) $
Per calcolare lo stimatore ML derivi rispetto a $ B $ la funzione di logverosomiglianza ed imponi a zero , infatti essendo la funzione logaritmica non decrescente non ti da problemi per la ricerca di un max.
Poi verifichi che tale quantità trovata è effettivamente un massimo studiando il segno della derivata seconda
Hai che la funzione di verosomiglianza è:
$ L_n(Y,b)=(1/b^2)^n * prod_(i = 1)^(n)(1/y_i^3) * exp(-sum_(i = \1)^(n) 1/(by_i)) $
passando ai logaritmi hai
$ L_n(Y,b)=n*log(1/b^2) + sum(log(1/y_i^3)) -sum_(i = \1)^(n) 1/(by_i) $
Per calcolare lo stimatore ML derivi rispetto a $ B $ la funzione di logverosomiglianza ed imponi a zero , infatti essendo la funzione logaritmica non decrescente non ti da problemi per la ricerca di un max.
Poi verifichi che tale quantità trovata è effettivamente un massimo studiando il segno della derivata seconda
Sì, ma il problema mio è proprio derivare la log verosimiglianza. Ho fatto diverse prove, ma non arrivo al dunque.
$ dB L_n(Y,B)= -(2n)/B +1/B^2 * sum(1/y_i) $
Consideri tutto ciò che non è $B$ come una costante e derivi perciò la sommatoria dove compare solo $y_i$ si elimina in quanto costante
Consideri tutto ciò che non è $B$ come una costante e derivi perciò la sommatoria dove compare solo $y_i$ si elimina in quanto costante
Ok la mia soluzione era simile...in ogni caso si riesce ad esplicitarla rispetto a $beta$?
Cioè a mio parere non si riesce a risolvere l'equazione in B...
Grazie mille!
Cioè a mio parere non si riesce a risolvere l'equazione in B...
Grazie mille!
Nella tua avevi sbagliato a mettere la sommatoria al denominatore per l'ultimo fattore
Ora fai la somma tra frazioni ed imponi uguale a zero ricavandoti la B
Ora fai la somma tra frazioni ed imponi uguale a zero ricavandoti la B
Caspita... hai ragione che figuraccia 
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