Stimatore corretto e varianza

[Rosy19931]

Salve a tutti, ho un esercizio su cui sono un bel po' confusa e che vi vorrei proporre.

Sia \(\displaystyle (X_1,X_2, ...,X_5) \) un campione estratto da una popolazione normale \(\displaystyle N(0,\sigma^2) \). Si dimostri che la statistica \(\displaystyle T=\frac{{\sum_{{{i}={1}}}^{{5}}}{x_i^2}}5 \) è uno stimatore corretto di \(\displaystyle \sigma^2 \). Calcolare la varianza di T.

Dunque T si dice stimatore corretto di \(\displaystyle \sigma^2 \) se il valore atteso di T coincide con \(\displaystyle \sigma^2 \). Provo a calcolare il valore atteso:

\(\displaystyle E(T)=E(\frac{{\sum_{{{i}={1}}}^{{5}}}{x_i^2}}5)=\frac{{\sum_{{{i}={1}}}^{{5}}}{E(x_i)^2}}5 \)
quindi se \(\displaystyle E(x_i)=\mu_i \) si ha \(\displaystyle E(T)=\frac{{\sum_{{{i}={1}}}^{{5}}}{\mu_i^2}}5 \)
ma fin qui è giusto quello che sto facendo?
ora dovrei calcolare la varianza di ogni \(\displaystyle X_i \)?

Grazie a chi mi aiuterà

[retrocomputer]

"Rosy1993":
Sia \(\displaystyle (X_1,X_2, ...,X_5) \) un campione estratto da una popolazione normale \(\displaystyle N(0,\sigma^2) \).
(CUT)
ora dovrei calcolare la varianza di ogni \(\displaystyle X_i \)?

Ma le $X_i$ non hanno speranza $0$ e varianza $\sigma^2$?

[Ecce]

T è uno stimatore corretto della varianza, ed il suo valore atteso deve restituirti e $\sigma^2$, cosa che in effetti succede.
Infatti, il valore atteso è lineare e correttamente "passa dentro" la sommatoria, ma lì hai fatto un errore infatti è:

$(sum E[(x_i)^2])/5$ e quel valore atteso è uguale a $\sigma^2$ infatti, poichè la variabile ha media nulla puoi scrivere la formula della varianza come $E[x^2 - E(x)^2]=E[x^2 - 0]=E[x^2]$ (ho tolto qualche pedice per fare prima).
A questo punto per le proprietà della sommatoria hai $(5\sigma^2)/5=\sigma^2$

[Rosy19931]

Grazie ho capito sei stato chiarissimo