Stima via simulazione

[valentinax89]

Ciao,

sto iniziando a studiare l'argomento e sto facendo vari esercizi.
In particolare sto cercando di capire come stimare il seguente intregale via simulazione, valutandone anche in qualche maniera la precisione:

$\int_0^2 \int_0^2 expsqrt(x_1x_2)\ \text{d} x_1 \text{d} x_1$

La soluzione e' la seguente in R:

f <- function(x) exp(sqrt(x[1]x[2]))

int <- function(f){
m <- 4*f(2*runif(2))
m
}

e poi viene calcolata la stima ecc.

Quel che non capisco e' come si arriva ad ottenere 4*f(2*runif(2))

Ho letto la teoria in particolare volevo capire se applico l'inversione:

Se una variabile casuale X ha funzione di ripartizione F continua, allora la variabile $U = F(X)$ ha distribuzione uniforme su [0; 1]. Segue che, se U ha distribuzione uniforme su [0; 1], dunque la variabile denita come $X = F^(-1)(U)$
ha funzione di ripartizione F.

Potete chiarirmi questo dubbio. Grazie mille.

[valentinax89]

Grazie mille!!!

[markowitz]

"Sergio":
L'integrazione Monte Carlo classica si basa sulla definizione di valore atteso di una variabile che sia trasformazione di un'altra: se \( X \) ha densità \( g(x) \) e \( Y=f(X) \), allora \( E[Y]=E[f(X)]=\int f(x)g(x)dx \).
Se si deve integrare su \( [0,1] \), conviene porre \( X\sim\text{Unif}(0,1) \), che ha densità \( g(x)=1 \).
Si ha quindi \( E[Y]=\int f(x)dx \), che viene approssimato dalla media di \( n \) valori di \( f(x) \) calcolati su valori generati dalla uniforme su \( [0,1] \).

Scusa Sergio, una paio di domande
- "se si deve intergrare su [0,1] ..." ma in generale $g(x)$ può essere qualsiasi giusto? che poi la campioniamo col metodo dell'inversa a partire da $U[0,1]$ (disponibile) è un'altra cosa.
- "se si deve intergrare su [0,1] ..." lo spazio di integrazione è in generale definito da $g(x)$ ? $f(x)$ non ha ruolo in proposito? Credo sia cosi, però ...