Stima puntuale della varianza
Ciao a tutti, ho alcuni problemi con questo esercizio.
Un'azienda panificatrice produce baguettes per un supermercato. Dalla produzione odierna è stato estratto un campione di 100 baguettes, misurando su ciascuna di esse il peso xi ( i =1, …, 100) in grammi e determinando i seguenti risultati: $\sum_{n=1}^N x_i = 15063$ e $\sum_{n=1}^N x_i^2 = 2316552$
Si fornisca una stima puntuale della varianza del peso delle baguettes dell'intera produzione dell'azienda
Dunque io so che per calcolare la varianza la formula da applicare è
Var: 1/n sommatoria (xi - X trattino sopra)^2
X trattino sopra corrisponde alla media, e so come trovarla, ma dopo non riesco comunque ad applicare la formula perché ho la sommatoria degli xi.
Vi ringrazio già da ora anche solo per un consiglio
Un'azienda panificatrice produce baguettes per un supermercato. Dalla produzione odierna è stato estratto un campione di 100 baguettes, misurando su ciascuna di esse il peso xi ( i =1, …, 100) in grammi e determinando i seguenti risultati: $\sum_{n=1}^N x_i = 15063$ e $\sum_{n=1}^N x_i^2 = 2316552$
Si fornisca una stima puntuale della varianza del peso delle baguettes dell'intera produzione dell'azienda
Dunque io so che per calcolare la varianza la formula da applicare è
Var: 1/n sommatoria (xi - X trattino sopra)^2
X trattino sopra corrisponde alla media, e so come trovarla, ma dopo non riesco comunque ad applicare la formula perché ho la sommatoria degli xi.
Vi ringrazio già da ora anche solo per un consiglio
Risposte
Ciao,
semplice problema algebrico allora
Facendoti notare prima che stima puntuale della varianza, con media della popolazione (azienda) incognita, si intende lo stimatore corretto.
Sai che dalla teoria:
$\text{Var}(X) = E[X - E[X]^2] = E[X^2] - E[X]^2$
applichiamo nel nostro caso con stimatore corretto:
\(\displaystyle{\text{S}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 = \left (\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2}\)
ora sostituendo con i dati del problema, avrai ciò che cerchi. Se non è chiaro il passaggio fatto nella sommatoria, convinciti calcolandolo a mano, è un semplice passaggio di algebra comune (ne parliamo in caso).
semplice problema algebrico allora
Facendoti notare prima che stima puntuale della varianza, con media della popolazione (azienda) incognita, si intende lo stimatore corretto.
Sai che dalla teoria:
$\text{Var}(X) = E[X - E[X]^2] = E[X^2] - E[X]^2$
applichiamo nel nostro caso con stimatore corretto:
\(\displaystyle{\text{S}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 = \left (\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n x_i^2\right) - \overline{x}^2}\)
ora sostituendo con i dati del problema, avrai ciò che cerchi. Se non è chiaro il passaggio fatto nella sommatoria, convinciti calcolandolo a mano, è un semplice passaggio di algebra comune (ne parliamo in caso).
aaaah ok ok capito!
Mi è venuto un dubbio però, per calcolare la media faccio semplicemente la sommatoria di xi/100 vero?
Altra cosa, ieri gironzolando per internet ho trovato anche questa formula, però volevo chiederti se davvero si può applicare, è questa:
$S^2$ = $n$ $\sum_{k=1}^N x_i^2$ $-$ ($\sum_{k=1}^N x_i$)^2 / $n -1$
Grazie in anticipo
Mi è venuto un dubbio però, per calcolare la media faccio semplicemente la sommatoria di xi/100 vero?
Altra cosa, ieri gironzolando per internet ho trovato anche questa formula, però volevo chiederti se davvero si può applicare, è questa:
$S^2$ = $n$ $\sum_{k=1}^N x_i^2$ $-$ ($\sum_{k=1}^N x_i$)^2 / $n -1$
Grazie in anticipo
"sharongualtieri":
Mi è venuto un dubbio però, per calcolare la media faccio semplicemente la sommatoria di xi/100 vero?
sì.
"sharongualtieri":
Altra cosa, ieri gironzolando per internet ho trovato anche questa formula, però volevo chiederti se davvero si può applicare, è questa:
$S^2 = n \sum_{k=1}^N x_i^2 - (\sum_{k=1}^N x_i)^2 / (n -1)$
Grazie in anticipo
ok mi fai notare un errore, mannaggia
quello che ti ho scritto è valido per altro contesto, in questo esercizio la formula corretta di scomposizione sta nel notare che \(\sum_{k=1}^N x_i = N*\overline{x}\)
Io in pratica ti ho riportato a memoria e ben mescolato uno stimatore con media della popolazione nota, invece che quello con media del campione, con media della popolazione incognita, è un giro di parole ma tant'è.
La formula corretta è:
\( \displaystyle{\text{S}^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 = \frac{1}{n-1} \left ( \left ( \sum_{i=1}^n x_i^2\right ) - n*\overline{x}^2 \right )}\)
La formula che riporti non mi dice molto (non è così, ma dovresti mettere il giusto contesto), noto solo o delle parentesi messe nel modo sbagliato e che il parser del forum interpreta in modo sbagliato oppure hai messo qualche $n$ nel posto sbagliato.
$S^2 = n \sum_{k=1}^N x_i^2 - (\sum_{k=1}^N x_i)^2 / (n -1)$
Prova a sostituire:
la tua: $100*2316552 - {(15063)^2}/(100-1) = 2.29$
quella corretta: $(2316552 - 100*(15063/100)^2)/(100-1) = 480.93$
PS: per le formule matematiche bastano solo due simboli del \$ all'inizio ed alla fine della formula che scrivi non su ogni lettera/segno, sono dei tag come quote, spoiler, bold, ... (prova a fare una citazione del mio messaggio). Una guida la trovi qui.
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