Stima parametrica

[frons79]

Si estraggono da una popolazione Normale di media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ un campione casuale di $n=100$ unità ed un campione casuale di $m=50$ unità.
Volendo stimare il parametro $\mu$ si considerano i seguenti stimatori:

[*:3lojx2nt]\(\displaystyle T_1 = \frac{\overline X_n + \overline X_m}{2} \)[/*:m:3lojx2nt]
[*:3lojx2nt]\(\displaystyle T_2 = \frac{n \overline X_n + m \overline X_m}{n+m} \)[/*:m:3lojx2nt][/list:u:3lojx2nt]
Con $\overline X_n$ e $\overline X_m$ rispettivamente media campionaria del primo e del secondo campione.
Verificare se tali stimatori siano corretti e determinare quello più efficiente.

Passo 1: verificare la correttezza degli stimatori
Affinché lo stimatore $T_1$ sia corretto si deve verificare che $\mathbb{E}[T_1]=\mu$
\[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\mathbb{E}[T_1] & = \mathbb{E}\Bigg[\frac{\overline X_n + \overline X_m}{2}\Bigg] \\
& = \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_n + \overline X_m] \\
& = \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_n] + \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_m] \\
& = \text{come si procede?}
\end{split}
\end{equation}



\]

[stenford23]

$ E[bar(X_n)]=E[(sum(x_i))/n]=(sumE[x_i])/n $
ma gli $x_i $ sono identicamente distribuiti quindi...

[frons79]

\[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\mathbb{E}[T_1] & = \mathbb{E}\Bigg[\frac{\overline X_n + \overline X_m}{2}\Bigg] \\
& = \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_n + \overline X_m] \\
& = \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_n] + \frac{1}{2}\mathbb{E}[\overline X_m] \\
& = \frac{1}{2}\frac{\sum \mathbb{E}[x_i]}{n} + \frac{1}{2}\frac{\sum \mathbb{E}[x_i]}{m} \\
\end{split}
\end{equation}
\]

"stenford23":$ E[bar(X_n)]=E[(sum(x_i))/n]=(sumE[x_i])/n $
ma gli $ x_i $ sono identicamente distribuiti quindi...

E' quel "quindi" che non riesco ad afferrare...

[stenford23]

Se le variabili sono identicamente distribuite posto $ x_i~ x AA i=1,..n$ sai che $ E[x_i]=E[x] AA i=1,...n$
$ (sum(E[x_i]))/n= (sum(E[x]))/n=(n*E[x])/n=E[x] $

[frons79]

Grazie, quindi alla fine sono riuscito a provare che entrambi gli stimatori sono corretti. Ora devo trovare quale sia il più efficiente tra i due.
Sapendo che devo confrontare i due errori quadratici medi ($MSE(T_n)=\mathbb V[T_n]+B_{n}^{2}$) e sapendo anche che laddove uno stimatore sia corretto presenta $B=0$, mi ritrovo alla fine a dover confrontare le due varianze tra loro.
\[\displaystyle
\begin{equation}
\begin{split}
\mathbb{V}[T_1] & = \mathbb{V} \Bigg[\frac{\overline X_n + \overline X_m}{2}\Bigg] \\
& = \frac{1}{4}(\mathbb{V}[\overline X_n] + \mathbb{V}[\overline X_m]) \\
& = \frac{1}{4}\Bigg(\mathbb{V}\Bigg[\frac{\sum(x_i)}{n}\Bigg]+ \mathbb{V}\Bigg[\frac{\sum(x_i)}{m}\Bigg]\Bigg) \\
& = \text{da qui in poi iniziano le congetture...} \\
& = \frac{1}{4}\Bigg(\frac{\sum\mathbb{V}[x_i]}{n^2} + \frac{\sum\mathbb{V}[x_i]}{m^2}\Bigg) \\
& = \frac{1}{4}\Bigg(\frac{n\mathbb{V}[x]}{n^2} + \frac{m\mathbb{V}[x]}{m^2}\Bigg) \\
& = \frac{1}{4}\Bigg(\frac{\mathbb{V}[x]}{n} + \frac{\mathbb{V}[x]}{m}\Bigg) \\
& = \text{se fosse corretto fino a qui, come procedere poi?}
\end{split}
\end{equation}
\]

[stenford23]

Qui si richiede però l'efficienza non la varianza dei due stimatori devi ricondurti al teorema di Cramer-Rao
In particolare $ e(T)=(1/(I(theta)))/(var(T)) $
con $ e(t) $ efficienza di $ T $
$ I(theta) $ l'informazione di Fisher

[frons79]

"stenford23":Qui si richiede però l'efficienza non la varianza dei due stimatori devi ricondurti al teorema di Cramer-Rao

A me è stato insegnato che l'efficienza (relativa) si misura con l'errore quadratico medio $MSE [\hat \theta]= \mathbb E[(\hat \theta - \theta)^2] = \mathbb V[\hat \theta] + Bias^2(\hat \theta, \theta)$
Nel caso di stimatori corretti $Bias = 0$
Quindi mi ridurrei ad un confronto tra varianza e quello che ha la varianza minore è il più efficiente