Stima intervallare e dimensione del campione
Ciao, sto provando un nuovo esercizio che riguarda la stima intervallare.
Spero di avere fatto progressi dall'ultima volta... mi dite se la mia soluzione è corretta?
Ecco qua!
In una popolazione molto numerosa A una percentuale p incognita di individui è di tipo Σ. In un campione di 1000 individui se ne trovano 280 di tipo Σ.
Fornire una stima intervallare di p con livello di significatività 2%. Se con lo stesso livello di confidenza si vuole una stima intervallare che preveda una ampiezza complessiva dell'intervallo non superiore a 0.02, quanto grande si dovrà scegliere il campione?
Quindi, abbiamo:
$n=1000$
$\alpha=0.02 \Rightarrow z_(\alpha/2) = 2.33$
$FR = 280/1000 = 0.28$
$FR - z_(\alpha/2)\cdot\sqrt{(FR\cdot(1-FR))/n}\leq p \leq FR + z_(\alpha/2)\cdot\sqrt{(FR\cdot(1-FR))/n}$
$0.28 - 2.33\cdot\sqrt{(0.3\cdot0.7)/1000}\leq p \leq 0.28 + 2.33\cdot\sqrt{(0.3\cdot0.7)/1000}$
$0.246\leq p \leq 0.318$
A questo punto, se impostiamo l'ampiezza complessiva $\leq0.02$ avremo:
$n=((z_\alpha/2)^2\cdotFR\cdot(1-FR))/0.01^2 = ((2.33^2)\cdot0.28\cdot0.72)/(0.01^2) = 10944.67$
Perciò, max incertezza:
$n = ((z_\alpha/2)^2)/0.02^2 = (2.33^2)/0.02^2 = 13572.25$
Ok... non ho idea se questi risultati siano corretti, né sono sicuro di aver davvero trovato quello che chiedeva l'esercizio!
Mi rimetto alla clemenza della corte...
Spero di avere fatto progressi dall'ultima volta... mi dite se la mia soluzione è corretta?
Ecco qua!
In una popolazione molto numerosa A una percentuale p incognita di individui è di tipo Σ. In un campione di 1000 individui se ne trovano 280 di tipo Σ.
Fornire una stima intervallare di p con livello di significatività 2%. Se con lo stesso livello di confidenza si vuole una stima intervallare che preveda una ampiezza complessiva dell'intervallo non superiore a 0.02, quanto grande si dovrà scegliere il campione?
Quindi, abbiamo:
$n=1000$
$\alpha=0.02 \Rightarrow z_(\alpha/2) = 2.33$
$FR = 280/1000 = 0.28$
$FR - z_(\alpha/2)\cdot\sqrt{(FR\cdot(1-FR))/n}\leq p \leq FR + z_(\alpha/2)\cdot\sqrt{(FR\cdot(1-FR))/n}$
$0.28 - 2.33\cdot\sqrt{(0.3\cdot0.7)/1000}\leq p \leq 0.28 + 2.33\cdot\sqrt{(0.3\cdot0.7)/1000}$
$0.246\leq p \leq 0.318$
A questo punto, se impostiamo l'ampiezza complessiva $\leq0.02$ avremo:
$n=((z_\alpha/2)^2\cdotFR\cdot(1-FR))/0.01^2 = ((2.33^2)\cdot0.28\cdot0.72)/(0.01^2) = 10944.67$
Perciò, max incertezza:
$n = ((z_\alpha/2)^2)/0.02^2 = (2.33^2)/0.02^2 = 13572.25$
Ok... non ho idea se questi risultati siano corretti, né sono sicuro di aver davvero trovato quello che chiedeva l'esercizio!
Mi rimetto alla clemenza della corte...
Risposte
[pgn][/pgn]
Assoluzione, ma solo per "insufficienza di prove".
Ok, hai applicato le formule; nel secondo punto devi trovare una soluzione del tipo $n>=$ e ricordarti che devi sempre arrotondare per eccesso, quindi la soluzione sarà $n>=ceil(N)$. Arrotondando un po' meglio $z_(alpha/2)$ trovi che $n>=10911$. Anche nel primo punto, se arrotondi "male" a 2.33 (per non parlare di $bar(p)~~0.3$) poi non puoi esprimere il risultato con 3 decimali....è una questione matematica, più che statistica, non trovi?
Ora però, ciò che mi preme di più, è fare un piccolo (ma importante) approfondimento
Nella formula che hai utilizzato (immagino infatti che $sqrt(0.3*0.7)$ sia in realtà $sqrt(0.28*0.72)$) hai risolto
Purtroppo per te, la distribuzione asintotica dello stimtore $bar(p)$, ovvero la media campionaria, la prevalenza osservata nel campione, è questa:
quindi la formula più corretta[nota]che ovviamente nessuno usa perché la complessità della soluzione non vale la miglior approssimazione che fornirebbe[/nota] è questa:
anche questa da risolvere in $p$. Qualche passaggio algebrico in più per un'approssimazione migliore. Nella formula che ti hanno insegnato hai sostanzialmente sostituito al valore $p$ ignoto (al denominatore) la sua stima $bar(p)$ che rende immediata la soluzione della doppia disuguaglianza rispetto a $p$
Non userai mai questa formula ma è giusto che tu lo sappia..... senza farti perdere tempo, puoi guardare QUI per una spiegazione più approfondita della questione (ammesso che tu ne abbia voglia)
Inoltre, la massima incertezza onestamente non l'ho mai sentita (ma non sono un prof, sono solo un appassionato della materia) e comunque non è richiesta dalla traccia.
Non ho tempo di informarmi in merito ma intuitivamente mi pare possa ragionevomente essere caratterizzata dall'errore std, ovvero la deviazione std della media campionaria. Di certo non ha alcun senso risolverla rispetto ad n.... anche perché più aumenta n più l'incertezza diminuisce (la gaussiana tende ad essere molto stretta e molto vicina al valore vero)....quindi se devi trovare un valore che massimizzi l'errore lo devi risolvere rispetto a $p$, fissato n (sottolineo che è solo una mia considerazione....)
spero di esserti stato di aiuto, anche se un po' troppo cavilloso....ma d'altronde siamo qui tutti per accrescere le nostre conoscenze....
"Cholesky":
Mi rimetto alla clemenza della corte...
Assoluzione, ma solo per "insufficienza di prove".
Ok, hai applicato le formule; nel secondo punto devi trovare una soluzione del tipo $n>=$ e ricordarti che devi sempre arrotondare per eccesso, quindi la soluzione sarà $n>=ceil(N)$. Arrotondando un po' meglio $z_(alpha/2)$ trovi che $n>=10911$. Anche nel primo punto, se arrotondi "male" a 2.33 (per non parlare di $bar(p)~~0.3$) poi non puoi esprimere il risultato con 3 decimali....è una questione matematica, più che statistica, non trovi?
Ora però, ciò che mi preme di più, è fare un piccolo (ma importante) approfondimento
Nella formula che hai utilizzato (immagino infatti che $sqrt(0.3*0.7)$ sia in realtà $sqrt(0.28*0.72)$) hai risolto
$-z<=(bar(p)-p)/sqrt(bar(p)(1-bar(p)))sqrt(n)<=z$
Purtroppo per te, la distribuzione asintotica dello stimtore $bar(p)$, ovvero la media campionaria, la prevalenza osservata nel campione, è questa:
$bar(p)~ N(p;(p(1-p))/n)$
quindi la formula più corretta[nota]che ovviamente nessuno usa perché la complessità della soluzione non vale la miglior approssimazione che fornirebbe[/nota] è questa:
$-z<=(bar(p)-p)/sqrt(p(1-p))sqrt(n)<=z$
anche questa da risolvere in $p$. Qualche passaggio algebrico in più per un'approssimazione migliore. Nella formula che ti hanno insegnato hai sostanzialmente sostituito al valore $p$ ignoto (al denominatore) la sua stima $bar(p)$ che rende immediata la soluzione della doppia disuguaglianza rispetto a $p$
Non userai mai questa formula ma è giusto che tu lo sappia..... senza farti perdere tempo, puoi guardare QUI per una spiegazione più approfondita della questione (ammesso che tu ne abbia voglia)
Inoltre, la massima incertezza onestamente non l'ho mai sentita (ma non sono un prof, sono solo un appassionato della materia) e comunque non è richiesta dalla traccia.
"Cholesky":
1) Fornire una stima intervallare di p con livello di significatività 2%.
2) Se con lo stesso livello di confidenza si vuole una stima intervallare che preveda una ampiezza complessiva dell'intervallo non superiore a 0.02, quanto grande si dovrà scegliere il campione?
Non ho tempo di informarmi in merito ma intuitivamente mi pare possa ragionevomente essere caratterizzata dall'errore std, ovvero la deviazione std della media campionaria. Di certo non ha alcun senso risolverla rispetto ad n.... anche perché più aumenta n più l'incertezza diminuisce (la gaussiana tende ad essere molto stretta e molto vicina al valore vero)....quindi se devi trovare un valore che massimizzi l'errore lo devi risolvere rispetto a $p$, fissato n (sottolineo che è solo una mia considerazione....)
spero di esserti stato di aiuto, anche se un po' troppo cavilloso....ma d'altronde siamo qui tutti per accrescere le nostre conoscenze....
Grande! Sei stato utilissimo, grazie mille!
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