Stima intervallare

[Cholesky]

Ciao, sto studiando Calcolo delle Probabilità e Stastistica e mi servirebbe una mano per un esercizio:

Sia X una variabile aleatoria normale con media e varianza incognite.
In 24 prove indipendenti, si ottengono per X i seguenti valori:
7 due volte, 11 cinque volte, 12 cinque volte, 13 cinque volte, 14 cinque volte, 18 due volte.
Fornire una stima intervallare della media con un livello di significatività 0.05.

Non conosco i risultati... ci ho provato! Mi dite se la mia soluzione è giusta?

Ho fatto (7*2+11*5+12*5+13*5+14*5+18*2)/24 = 12,5 (media matematica... il termine è corretto?)
A questo punto, ho fatto: 1-.05/2=0.975

Quindi:
12.5-0.975 = 11.525
12.5+0.975 = 13.475

Di conseguenza: 11.525 < μ < 13.475

Ok, sono pronto al peggio... quanti errori ho fatto in così poche righe?
Grazie a tutti per la pazienza, invoco la clemenza della corte

[Lo_zio_Tom]

"Cholesky":Ciao, sto studiando Calcolo delle Probabilità e Stastistica e mi servirebbe una mano per un esercizio:

Ok, sono pronto al peggio... quanti errori ho fatto in così poche righe?

Più che di errori si tratta di capire dove tu abbia trovato una simile ed insensata soluzione! Se studi statistica avrai studiato come calcolare una questo tipo di stima intervallare...se la distribuzione è normale di media e varianza incongite occorre usare una determinata distribuzione ancillare (che dovresti conoscere) e che si distribuisce come una t di student con $(n-1)$ gdl....

Quindi il mio consiglio è quello di studiare bene la teoria e solo dopo affrontare gli esercizi....e, per favore, per la prossima volta cerca di inserire le formule in modo corretto.....

Ecco come svolgere questo esercizio:

Sappiamo che $X~N(mu; sigma^2)$

sappiamo anche che, in questo caso

$(bar(X)-mu)/s sqrt(n)~T_((n-1))$

quindi per trovare una stima intervallare della media basta calcolare

$P{a<(bar(X)-mu)/s sqrt(n)
e quindi

$-t_(n-1, alpha/2)<=(bar(X)-mu)/s sqrt(n)<=t_(n-1, alpha/2)$

da risolvere in $mu$

a te i conti....

Legenda:

$alpha=$ livello di significatività fissato (5%)

$bar(X)=$ media campionaria (quella che hai già calcolato)

$s=$ deviazione standard campionaria

$T_(n-1)=$ distribuzione t di student con $(n-1)$ gdl

$t_(n-1, alpha/2)=$ quantile della suddetta distribuzione (si trova sulle apposite tavole o con un qualunque calcolatore, anche Excel)

ciao

[Cholesky]

Ti ringrazio!
Ho dei problemi a calcolare la deviazione standard campionaria s: non sono sicuro della formula.

$s=sqrt(bar(X)^2/(n-1))$

È corretta?

[Lo_zio_Tom]

no

$S=sqrt((sum_(i=1)^(n)(X_i-bar(X))^2)/(n-1))=...=2.5195$

Esistono anche altre formule equivalenti ma non quella che hai scritto tu...

ad esempio questa:

$S^2=n/(n-1){E[X^2]-E^2[X]}=24/23 {(7^2xx2+11^2xx5+...+18^2xx2)/24-12.5^2}=6.3478$

da cui subito $sqrt(S^2)=2.5195$

[Cholesky]

[quote=tommik]
Ok!

Se ho fatto le cose per bene,

$t_(n-1, alpha/2)=2.069$

Quindi, io avrei:

$12.5-2.069(2.5195/sqrt24) = 11.436$

$12.5+2.069(2.5195/sqrt24) = 13.564$

Quindi:

$11.436 \leq mu \leq 13.564$

Giusto?

(pronto al peggio anche stavolta...)

[Lo_zio_Tom]

stavolta va bene.....

[Cholesky]

YEEEEE!!! Grazie mille!!!
Primo esercizio giusto!
Sarà l'inizio di una lunga avventura...