Spiegazione soluzione calcolo combinatorio
salve
cercavo una spiegazione a questo problema di calcolo combinatorio
Alquanto sbronzi dopo una festa. Artù, Ginevra e sei cavalieri si accomodano a una tavola
rettangolare con nove posti a sedere , sedendosi alla rinfusa. Qual'è la probabilità che
Artù e Ginevra si siano seduti a capotavola?
la soluzione è $ (2 * 7!) /(9!) $
grazie ciao Davide
cercavo una spiegazione a questo problema di calcolo combinatorio
Alquanto sbronzi dopo una festa. Artù, Ginevra e sei cavalieri si accomodano a una tavola
rettangolare con nove posti a sedere , sedendosi alla rinfusa. Qual'è la probabilità che
Artù e Ginevra si siano seduti a capotavola?
la soluzione è $ (2 * 7!) /(9!) $
grazie ciao Davide
Risposte
Per come hai scritto la probabilità i cavalieri dovrebbero essere 7 se non erro pertanto $9!$ sono i casi possibili che corrispondono alle permutazioni dei 9 personaggi Artù Ginevra e i 7 cavalieri. I casi favorevoli invece sono $2*(7!)$ perché Artù e Ginevra hanno posti prefissati che possiamo scegliere in due modi in quanto possono scambiarsi di posto ma sempre a capotavola, gli altri sette invece possono prendere posti a caso che sono appunto $7!$ quanto le loro permutazioni .
Spero di esserti stato di aiuto e non aver fatto errori
Spero di esserti stato di aiuto e non aver fatto errori
Grazie Fabio
anch'io ho intuito che se sottrai i nove posti ai due posti capotavola rimangono 7 posti, mi sembra di capire che la formula vale sia per 1 che per 2,3,4,5,6,7 cavalieri
ciao Davide
anch'io ho intuito che se sottrai i nove posti ai due posti capotavola rimangono 7 posti, mi sembra di capire che la formula vale sia per 1 che per 2,3,4,5,6,7 cavalieri
ciao Davide
con 9 posti, 6 o 7 cavalieri non dovrebbe fare la differenza:
Artù, Ginevra, cav.1,2,3,4,5,6, posto vuoto: $9!$ possibilità.
casi favorevoli:
Artù nel capotavola 1, Ginevra nel capotavola 2, gli altri 7 posti comunque occupati: $7!$ casi;
Artù nel capotavola 2, Ginevra nel capotavola 1, gli altri 7 posti comunque occupati: $7!$ casi;
... in totale?
Artù, Ginevra, cav.1,2,3,4,5,6, posto vuoto: $9!$ possibilità.
casi favorevoli:
Artù nel capotavola 1, Ginevra nel capotavola 2, gli altri 7 posti comunque occupati: $7!$ casi;
Artù nel capotavola 2, Ginevra nel capotavola 1, gli altri 7 posti comunque occupati: $7!$ casi;
... in totale?
Ma se i cavalieri sono meno di $6$, ovvero i posti vuoti più di $1$, i casi possibili diminuiscono.
grazie ada
invece per l'altra risposta semmai è l'incontrario se i cavalieri sono più di 7 per esempio 100 le possibilità
diminuiscono perchè oltre a rimanere la possibilità di due posti da capotavola su 9 c'è anche la possibilità
che non si siedano per niente perchè tutti e 9 i posti sono occupati dai cavalieri
ciao a tutti Davide
invece per l'altra risposta semmai è l'incontrario se i cavalieri sono più di 7 per esempio 100 le possibilità
diminuiscono perchè oltre a rimanere la possibilità di due posti da capotavola su 9 c'è anche la possibilità
che non si siedano per niente perchè tutti e 9 i posti sono occupati dai cavalieri
ciao a tutti Davide
@ superpippone
avevo fatto qualche ipotesi mentre stavo rispondendo ad un altro utente che aveva mosso un'obiezione simile, che però mentre preparavo la risposta ha cancellato il suo messaggio, per cui poi ho preferito non inviare il mio.
sì, è chiaro che i casi diminuiscono, ma non sono certa che sia diversa la probabilità richiesta: in fondo, in questo problema è indifferente la posizione dei singoli cavalieri, conta solo l'occupazione dei capi-tavola. se ci sono più cavalieri che magari occupano i loro posti prima che entrino Artù e Ginevra (non credo che tu pensi che dipende da chi entra prima e chi dopo, vero?), è vero che è più probabile che almeno un capo-tavola è già occupato, però è anche vero che se rimangono liberi solo quei due posti è "certo" che verranno occupati da Artù e Ginevra.
@ Davide
prego. considera anche quanto ho scritto a superpippone e quanto segue:
si può forse ribaltare il problema, supponendo che i due personaggi si siedano per primi: con quale probabilità due persone occupano 2 posti specifici su 9 possibili?
ciao a tutti
avevo fatto qualche ipotesi mentre stavo rispondendo ad un altro utente che aveva mosso un'obiezione simile, che però mentre preparavo la risposta ha cancellato il suo messaggio, per cui poi ho preferito non inviare il mio.
sì, è chiaro che i casi diminuiscono, ma non sono certa che sia diversa la probabilità richiesta: in fondo, in questo problema è indifferente la posizione dei singoli cavalieri, conta solo l'occupazione dei capi-tavola. se ci sono più cavalieri che magari occupano i loro posti prima che entrino Artù e Ginevra (non credo che tu pensi che dipende da chi entra prima e chi dopo, vero?), è vero che è più probabile che almeno un capo-tavola è già occupato, però è anche vero che se rimangono liberi solo quei due posti è "certo" che verranno occupati da Artù e Ginevra.
@ Davide
prego. considera anche quanto ho scritto a superpippone e quanto segue:
si può forse ribaltare il problema, supponendo che i due personaggi si siedano per primi: con quale probabilità due persone occupano 2 posti specifici su 9 possibili?
ciao a tutti
@ada
Concordo con il primo caso: che ci siano da 0 a 7 cavalieri la probabilità che la coppia reale occupi i 2 posti a capotavola è sempre: $2/9*1/8=1/36$. Sempre se siedono casualmente, ovvero non sanno quali sono i posti a capotavola. O più semplicemente diciamo che pescano da un'urna dove ci sono dei bigliettini con l'assegnazione dei posti.
Invece non concordo con il secondo. Perchè se i due regnanti non sono i primi, ma arrivano dal decimo in poi, non si siedono proprio.
Se applichiamo il mio ragionamento di prima, un'urna con 102 palline: 2 gialle per i posti a capotavola, 7 verdi per gli altri posti, e 93 bianche per stare in piedi, vediamo che la probabilità diventa:
$2/102*1/101=1/(5.151)$
Concordo con il primo caso: che ci siano da 0 a 7 cavalieri la probabilità che la coppia reale occupi i 2 posti a capotavola è sempre: $2/9*1/8=1/36$. Sempre se siedono casualmente, ovvero non sanno quali sono i posti a capotavola. O più semplicemente diciamo che pescano da un'urna dove ci sono dei bigliettini con l'assegnazione dei posti.
Invece non concordo con il secondo. Perchè se i due regnanti non sono i primi, ma arrivano dal decimo in poi, non si siedono proprio.
Se applichiamo il mio ragionamento di prima, un'urna con 102 palline: 2 gialle per i posti a capotavola, 7 verdi per gli altri posti, e 93 bianche per stare in piedi, vediamo che la probabilità diventa:
$2/102*1/101=1/(5.151)$
ciao Ada
Anch'io ho fatto questo raggionamento supponiamo che esistano solo Artù e Ginevra e applichiamo la formula,
a questo punto però mi è venuto il dubbio ma il numero di cavalieri in che maniera influenza la probabilità?
poi ho fatto altri raggionamenti
1) immaginiamo di avere tre personaggi che devono occupare 3 posti da capotavola su 9 e che non ci siano cavalieri
abbiamo la formula:
$(3*6!)/(9!)=3/(7*8*9)$
2) se invece ho un solo personaggio
$(1*6!)/(9!)=1/(7*8*9)=1/504$
però non potrebbe valere la probabilità
$1/3$
???
essendo alle primi armi con questa materia sto facendo domande banali e procedo per tentativi per cercare di capire la logica nell'applicazione delle formule del calcolo combinatorio
ciao Davide
Anch'io ho fatto questo raggionamento supponiamo che esistano solo Artù e Ginevra e applichiamo la formula,
a questo punto però mi è venuto il dubbio ma il numero di cavalieri in che maniera influenza la probabilità?
poi ho fatto altri raggionamenti
1) immaginiamo di avere tre personaggi che devono occupare 3 posti da capotavola su 9 e che non ci siano cavalieri
abbiamo la formula:
$(3*6!)/(9!)=3/(7*8*9)$
2) se invece ho un solo personaggio
$(1*6!)/(9!)=1/(7*8*9)=1/504$
però non potrebbe valere la probabilità
$1/3$
???
essendo alle primi armi con questa materia sto facendo domande banali e procedo per tentativi per cercare di capire la logica nell'applicazione delle formule del calcolo combinatorio
ciao Davide
Magari cominciamo col scrivere ragionamento e ragionamenti con una g sola...
La prima formula non è quella che hai scritto tu, ma:
$(3!*6!)/(9!)=6/504=1/84$ che corrisponde a $3/9*2/8*1/7$
La seconda è (alla tua maniera):$(3*8!)/(9!)=3/9=1/3$ ma io avrei fatto direttamente $3/9=1/3$
La prima formula non è quella che hai scritto tu, ma:
$(3!*6!)/(9!)=6/504=1/84$ che corrisponde a $3/9*2/8*1/7$
La seconda è (alla tua maniera):$(3*8!)/(9!)=3/9=1/3$ ma io avrei fatto direttamente $3/9=1/3$
no, no, è chiaro che mi riferisco ad un numero di cavalieri da 0 a 7, neanche mi ero posta il problema che l'esercizio fosse stato trasformato in un'altra cosa, magari con la presenza di alieni o di posti negativi!
grazie
ciao Davide
ciao Davide
prego
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