Spiegazione passaggio di un esercizio sulla densità di v.a.
Salve a tutti,
mi trovo di fronte a questo esercizio di cui non capisco un passaggio.
Vi introduco l'esercizio, abbiate solo la pazienza di leggere. E' di facile soluzione:
Siano $X$ e $Y$ indipendenti con legge uniforme su $(0,1)$ . Qual è la legge di $X+Y$?
Conosco:
$phi_X (t)$ Legge della v.a. $X$
$phi_Y (t)$ Legge della v.a $Y$
Voglio:
$phi_(X+Y) (t)$
Usando il teorema di del prodotto di convoluzione, si ha:
$phi_(X+Y) = phi_X (t)** phi_Y (t) = int_(-oo)^(+oo) phi_X (t-x)* phi_Y (x) dx$
Ora, siccome dobbiamo calcolare la densità tra $(0,1)$ e le v.a. hanno legge uniforme, "tronchiamo" le funzioni in questo intervallo tramite la funzione indicatrice (indicata col simbolo $1$) nell'intervallo $(0,1)$:
$phi_(X+Y) = int_(-oo)^(+oo) 1_((0,1)) (t-x)* 1_((0,1)) (x) dx = int_(0)^(1) 1_((0,1)) (t-x) dx$ $(1)$
Dove nell'ultimo passaggio la seconda funzione è stata omessa perchè sempre uguale ad 1 nell'intervallo $(0,1)$.
Affinché la funzione indicatrice $1_((0,1)) (t-x)$ non sia nulla, deve essere compresa tra $(0,1)$ e questo si traduce nella condizione
$ 0 < t-x<1 => t-1< x
E qui arriva ciò che non ho capito... Trovo scritto che la $(1)$ è uguale a:
$ int_(max{0,t-1})^(min {1,t }) 1 dx $
Ho capito perchè la funzione integranda è semplicemente $1$ (infatti la funzione indicatrice è uguale ad $1$ nell'intervallo in questione) ma non ho capito il perchè di quegli estremi di integrazione. Se vi può esser d'aiuto, vi illustro come finisce l'esercizio.
L'ultimo integrale si traduce nel seguente sistema:
$ int_(max{0,t-1})^(min {1,t }) 1 dx = { (t<0 => O/) , ( 0 int_(0)^(t) 1 dx =t ),( 1 int_(t-1)^(1) 1 dx =2-t),( t>2 => O/ ):} $
Dunque la densità della variabile $X+Y$ è:
[chart]//chart.googleapis.com/chart?chxr=0,-1,3&chxs=0,676767,11.5,0,lt,676767&chxt=x&chs=200x100&cht=lc&chco=FF0000,FF9900&chds=0,50&chd=t:0,0,50,0,0|-1&chls=1|1&chtt=Densit%C3%A0+v.a.+X%2BY&chts=0000FF,12[/chart]
Come si può notare si ha densità massima intorno al valore $1$.
Ringrazio chiunque possa e abbia voglia di aiutarmi!
mi trovo di fronte a questo esercizio di cui non capisco un passaggio.
Vi introduco l'esercizio, abbiate solo la pazienza di leggere. E' di facile soluzione:
Siano $X$ e $Y$ indipendenti con legge uniforme su $(0,1)$ . Qual è la legge di $X+Y$?
Conosco:
$phi_X (t)$ Legge della v.a. $X$
$phi_Y (t)$ Legge della v.a $Y$
Voglio:
$phi_(X+Y) (t)$
Usando il teorema di del prodotto di convoluzione, si ha:
$phi_(X+Y) = phi_X (t)** phi_Y (t) = int_(-oo)^(+oo) phi_X (t-x)* phi_Y (x) dx$
Ora, siccome dobbiamo calcolare la densità tra $(0,1)$ e le v.a. hanno legge uniforme, "tronchiamo" le funzioni in questo intervallo tramite la funzione indicatrice (indicata col simbolo $1$) nell'intervallo $(0,1)$:
$phi_(X+Y) = int_(-oo)^(+oo) 1_((0,1)) (t-x)* 1_((0,1)) (x) dx = int_(0)^(1) 1_((0,1)) (t-x) dx$ $(1)$
Dove nell'ultimo passaggio la seconda funzione è stata omessa perchè sempre uguale ad 1 nell'intervallo $(0,1)$.
Affinché la funzione indicatrice $1_((0,1)) (t-x)$ non sia nulla, deve essere compresa tra $(0,1)$ e questo si traduce nella condizione
$ 0 < t-x<1 => t-1< x
E qui arriva ciò che non ho capito... Trovo scritto che la $(1)$ è uguale a:
$ int_(max{0,t-1})^(min {1,t }) 1 dx $
Ho capito perchè la funzione integranda è semplicemente $1$ (infatti la funzione indicatrice è uguale ad $1$ nell'intervallo in questione) ma non ho capito il perchè di quegli estremi di integrazione. Se vi può esser d'aiuto, vi illustro come finisce l'esercizio.
L'ultimo integrale si traduce nel seguente sistema:
$ int_(max{0,t-1})^(min {1,t }) 1 dx = { (t<0 => O/) , ( 0
Dunque la densità della variabile $X+Y$ è:
[chart]//chart.googleapis.com/chart?chxr=0,-1,3&chxs=0,676767,11.5,0,lt,676767&chxt=x&chs=200x100&cht=lc&chco=FF0000,FF9900&chds=0,50&chd=t:0,0,50,0,0|-1&chls=1|1&chtt=Densit%C3%A0+v.a.+X%2BY&chts=0000FF,12[/chart]
Come si può notare si ha densità massima intorno al valore $1$.
Ringrazio chiunque possa e abbia voglia di aiutarmi!
Risposte
Ciao Dino,
purtroppo questo è un esercizio che rimane controintuitivo quando lo si affronta per la prima volta.
Adotto una notazione che dovrebbe aiutarti a capire l'arcano.
Per trovare la tua funzione di densità parto dalla funzione di ripartizione:
$P(X+Y\le t)=P(Y\le t - X)$ ora $t\in [0,2]$ (e questo è facile da capire), dato che $Y\le 1$ dovrai avere anche $t-X\in [0,1]$, quindi a seconda del valore di $t$ ti troverai uno dei casi che hai citato nel tuo post.
Ad esempio se $t=0$ allora $P(Y\le -X)=0$ (quindi la tua densità sarà zero), se $t\in[0,1]$ allora $P(Y\le t -X)=\int_0^t\int_{0}^{t-x}dydx$...l'ultimo caso è simile. Una volta ottenuta la funzione di ripartizione ti basterà derivare rispetto a $t$ per ottenre la densità.
Andrea
purtroppo questo è un esercizio che rimane controintuitivo quando lo si affronta per la prima volta.
Adotto una notazione che dovrebbe aiutarti a capire l'arcano.
Per trovare la tua funzione di densità parto dalla funzione di ripartizione:
$P(X+Y\le t)=P(Y\le t - X)$ ora $t\in [0,2]$ (e questo è facile da capire), dato che $Y\le 1$ dovrai avere anche $t-X\in [0,1]$, quindi a seconda del valore di $t$ ti troverai uno dei casi che hai citato nel tuo post.
Ad esempio se $t=0$ allora $P(Y\le -X)=0$ (quindi la tua densità sarà zero), se $t\in[0,1]$ allora $P(Y\le t -X)=\int_0^t\int_{0}^{t-x}dydx$...l'ultimo caso è simile. Una volta ottenuta la funzione di ripartizione ti basterà derivare rispetto a $t$ per ottenre la densità.
Andrea
Hai l'integrale tra $0$ e $1$ di una funzione rettangolare, $1_{(0,1)}(t-x)$ che "scorre" lungo l'asse $x$ facendo variare $t$. Spieghiamo l'estremo alto dell'intervallo di integrazione (per quello basso spiegazione analoga). Visualizza il rettangolo che scorre da sinistra a destra, concentrandoti sul suo vertice in basso a destra. Fintantoché detto vertice non entra nell'intervallo $(0,1)$ l'integrale è nullo. Quando il vertice si trova in posizione $>0$ ma $<1$ allora l'integrale va fatto tra $0$ e $t$, perché il tuo rettangolo è entrato di $t$ nell'intervallo $(0,1)$. A un certo punto, il rettangolo è interamente sull'intervallo $(0,1)$. Da qui in poi l'estremo superiore dell'integrale diventa $1$, perché man mano che il rettangolo scorre a destra non devi considerare quello che c'è per $x>1$. Ecco allora da dove viene $\text{min}(0,t)$.
Ringrazio entrambi per il vostro aiuto: Andrea, con gli integrali doppi ancora devo marciare (e tanto pure) non avendo studiato il corso di analisi in più variabili! Ad Elgiovio vorrei invece dire che l'estremo è $min{1,t}$ e non $min{0,t}$, ma intuitivamente mi rendo conto che il discorso non cambia.
D'altra parte io mi sono dato una spiegazione simile:
abbiamo assodato che $1-t
Considerando:
- $max{0,t-1}$ se l'intervallo di integrazione in $x$ va "troppo" sotto $t-1$
- $min{1,t}$ se l'intervallo di integrazione in $x$ va "troppo" sopra $t$
Cosa ne pensate?
D'altra parte io mi sono dato una spiegazione simile:
abbiamo assodato che $1-t
Considerando:
- $max{0,t-1}$ se l'intervallo di integrazione in $x$ va "troppo" sotto $t-1$
- $min{1,t}$ se l'intervallo di integrazione in $x$ va "troppo" sopra $t$
Cosa ne pensate?
"Dino 92":
l'estremo è $min{1,t}$ e non $min{0,t}$
Si ho sbagliato a scrivere.
Cosa ne pensate?
E' praticamente la stessa cosa di come te l'ho spiegato.
Il metodo di far "scorrere" una delle due funzioni da convolvere dopo averla ribaltata è molto comune, ed è pratico soprattutto in questi casi in cui le due funzioni sono semplici e a supporto compatto. Ti linko un sito dove puoi divertirti a usare un'applet in cui, tra le funzioni da convolvere, ci sono gli stessi rettangoli del tuo esercizio. Così puoi capire meglio come "visualizzare" l'integrale di convoluzione.
Ho capito 
ti ringrazio
ti ringrazio
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo