Speranza e varianza condizionata
Buona sera
oggi mi trovo a che fare con un esercizio con variabili aleatorie continue tra loro condizionate
La temperatura massima di una certa zona a ferragosto è data da una v.a $T~Gamma(99,3)$ .Se $T$ prende il valore $t$,allora il fabbisogno energetico in KW x1000 di quella zona è distribuito seconda una v.a $Gamma~(t^2,4t)$
a) indicando con $X$ il fabbisogno energetico,scrivere la densità congiunta delle v.a $T,X$
b)Calcolare la media della varianza del fabbisogno energetico $X$
Per il punto a)
Indicando $X|T~Gamma(t^2,4t)$ procedo per definizione della densità congiunta
$f_(X|T)=f_(x,y)/f_T(t)$
dove $f_T(t)=1/(Gamma(99)) 3^99 t^98 e^-(3t)$
e $f_(X|T)=1/(Gamma(t^2))4t^(t^2)x^te^-(4tx)$
cosi che la densità congiunta è il prodotto delle due densità(può bastare??)
Per il punto b)
$E(X)=E(E(X|T))$
ora
$E(X|T)=t^2/(4t)=t/4$ cosi seguirà $E(X)=E(t/4)=1/4E(T)=99/3*1/4=33/4$
$VAR(X)=E(X^2|T)-E^2(X)$
come prima definisco
$E(X^2|T)=t^2(t^2+1)/(16t^2)=(t^2+1)/16$
tornando alla varianza
$VAR(X)=E((t^2+1)/16)-(33/4)^2=1/16[E(T^2)+1]-(33/4)^2$
quindi $E(T^2)=VAR(T)+E^2(T)=11(99+1)+33^2=2189$
cosi che sostituendo
$V(X)=136,875-68,0625=68,8125$
fine
qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa strada facendo(o magari tutto
)? Grazie a tutti 
oggi mi trovo a che fare con un esercizio con variabili aleatorie continue tra loro condizionate
La temperatura massima di una certa zona a ferragosto è data da una v.a $T~Gamma(99,3)$ .Se $T$ prende il valore $t$,allora il fabbisogno energetico in KW x1000 di quella zona è distribuito seconda una v.a $Gamma~(t^2,4t)$
a) indicando con $X$ il fabbisogno energetico,scrivere la densità congiunta delle v.a $T,X$
b)Calcolare la media della varianza del fabbisogno energetico $X$
Per il punto a)
Indicando $X|T~Gamma(t^2,4t)$ procedo per definizione della densità congiunta
$f_(X|T)=f_(x,y)/f_T(t)$
dove $f_T(t)=1/(Gamma(99)) 3^99 t^98 e^-(3t)$
e $f_(X|T)=1/(Gamma(t^2))4t^(t^2)x^te^-(4tx)$
cosi che la densità congiunta è il prodotto delle due densità(può bastare??)
Per il punto b)
$E(X)=E(E(X|T))$
ora
$E(X|T)=t^2/(4t)=t/4$ cosi seguirà $E(X)=E(t/4)=1/4E(T)=99/3*1/4=33/4$
$VAR(X)=E(X^2|T)-E^2(X)$
come prima definisco
$E(X^2|T)=t^2(t^2+1)/(16t^2)=(t^2+1)/16$
tornando alla varianza
$VAR(X)=E((t^2+1)/16)-(33/4)^2=1/16[E(T^2)+1]-(33/4)^2$
quindi $E(T^2)=VAR(T)+E^2(T)=11(99+1)+33^2=2189$
cosi che sostituendo
$V(X)=136,875-68,0625=68,8125$
fine
qualcuno sa dirmi se ho sbagliato qualcosa strada facendo(o magari tutto
)? Grazie a tutti
Risposte
Tutto a posto tranne qualche calcolo.
Come hai calcolato $E(T^2)$?
A me viene
$E(T^2)=V(T)+E^2(T)=11+33^2=1100$
anche qui hai fatto un miscuglio insensato di formule.
$E(T^2)=(\alpha(alpha+1))/(beta^2)=(99\times(99+1))/9=1100$
oppure
$E(T^2)=11+33^2=1100$
Quindi sostituendo ottieni
$\mathbb{V}(X)=(1101-1089)/16=12/16=3/4$
PS: quando indichi una variabile "Gamma" devi scrivere Gamma e non $Gamma$ perché con la lettera greca si indica la funzione speciale
Anche $f(x|t)$ è sbagliata
$f_(X|T)(x|t)=(4t)^(t^2)/(\Gamma(t^2))x^(t^2-1) e^(-4tx)$
Come hai calcolato $E(T^2)$?
A me viene
$E(T^2)=V(T)+E^2(T)=11+33^2=1100$
anche qui hai fatto un miscuglio insensato di formule.
$E(T^2)=(\alpha(alpha+1))/(beta^2)=(99\times(99+1))/9=1100$
oppure
$E(T^2)=11+33^2=1100$
Quindi sostituendo ottieni
$\mathbb{V}(X)=(1101-1089)/16=12/16=3/4$
PS: quando indichi una variabile "Gamma" devi scrivere Gamma e non $Gamma$ perché con la lettera greca si indica la funzione speciale
Anche $f(x|t)$ è sbagliata
$f_(X|T)(x|t)=(4t)^(t^2)/(\Gamma(t^2))x^(t^2-1) e^(-4tx)$
Guarda anche questo esercizio
E' molto simile e viene dalla tua stessa facoltà, quindi ti sarà sicuramente utile
E' molto simile e viene dalla tua stessa facoltà, quindi ti sarà sicuramente utile
Grazie mille. Si ho fatto un errore sciocco. Siccome sto iniziando da poco ad affrontare questo tipo di esercizi la nomenclatura mi ha portato fuori strada. Come hai sottolineato tu ho calcolato il momento secondo invece della varianza
Per quanto riguarda la $Gamma$ non so. A noi e in ogni tipo di esercizio è sempre stato definito in questo modo la funzione gamma. Che differenza c'è?
Poi un'altra cosina(ovviamente sempre gentilmente )
Io so che la varianza posso trovarla anche in questo modo:
$V(X)=E[VAR(T|X)]+VAR[E(T|X)]$
ma come faccio a calcolare i termini di quest'ultima formula?
Comunque grazie. E grazie anche per l'esercizio postato ora lo vedo
Per quanto riguarda la $Gamma$ non so. A noi e in ogni tipo di esercizio è sempre stato definito in questo modo la funzione gamma. Che differenza c'è?
Poi un'altra cosina(ovviamente sempre gentilmente
) Io so che la varianza posso trovarla anche in questo modo:
$V(X)=E[VAR(T|X)]+VAR[E(T|X)]$
ma come faccio a calcolare i termini di quest'ultima formula?
Comunque grazie. E grazie anche per l'esercizio postato ora lo vedo
$\Gamma(a,b)=\int_b^{oo}x^{a-1}e^{-x}dx$ è la funzione gamma incompleta
$\text{Gamma}(a,b)$ è la densità gamma che conosci
Quella scomposizione della varianza non mi quadra affatto...ricontrolla sul libro
Questa è giusta... e non è ciò che hai scritto tu
Quindi correggendo la formula abbiamo
$\mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[\mathbb{V}[X|T]]+\mathbb{V}[\mathbb{E}[X|T]]=\mathbb{E}[1/16]+\mathbb{V}[T/4]=1/16+11/16=12/16=3/4$
...come già ottenuto per altra via
$\text{Gamma}(a,b)$ è la densità gamma che conosci
Quella scomposizione della varianza non mi quadra affatto...ricontrolla sul libro
Questa è giusta... e non è ciò che hai scritto tu
Quindi correggendo la formula abbiamo
$\mathbb{V}[X]=\mathbb{E}[\mathbb{V}[X|T]]+\mathbb{V}[\mathbb{E}[X|T]]=\mathbb{E}[1/16]+\mathbb{V}[T/4]=1/16+11/16=12/16=3/4$
...come già ottenuto per altra via
Ho invertito erroneamente i termini condizionati nella varianza ops.
Stavo vedendo l'esercizio postato e stranamente sono riuscito a farlo xD
Solo che mi fermo all'ultimo passaggio
$(Gamma((30+n)))/(Gamma(30)n!)$
non riesco a risolverlo
io so che $Gamma(a+1)=aGamma(a)$ mentre $Gamma(n+1)=n!$ (ovviamente n appartiene al campo dei numeri naturali
Stavo vedendo l'esercizio postato e stranamente sono riuscito a farlo xD
Solo che mi fermo all'ultimo passaggio
$(Gamma((30+n)))/(Gamma(30)n!)$
non riesco a risolverlo
io so che $Gamma(a+1)=aGamma(a)$ mentre $Gamma(n+1)=n!$ (ovviamente n appartiene al campo dei numeri naturali
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