Speranza di una variabile aleatoria positiva

[retrocomputer]

Finora avevo dimostrato la seguente formula
$E[X]=\int_0^{\infty} P\{X\geq y\}\ dy$
solo per variabili aleatorie positive e con legge definita da una densità e scopro ora che vale anche per variabili positive qualsiasi.

Per dimostrarla sono passato attraverso la misura del sottoinsieme $A$ di $\mathbb{R}^2$ degli $(x,y)$ tali che $x,y\geq 0$ e $y\leq x$ (il triangolo infinito sotto la bisettrice del primo quadrante, insomma):
$E[X]=\int X(\omega)dP(\omega)=\int_0^{\infty} xdP_X(x)=\int_0^{\infty} \lambda (0,x)dP_X(x)=P_X\otimes\lambda (A)=$
$\int_0^{\infty} P_X (y,+\infty)dy=\int_0^{\infty} P\{X\geq y\}\ dy$
dove $\lambda$ è la misura di Lebesgue, $P_X$ è la legge di $X$ e $\otimes$ è il prodotto di misure. Spero che vada bene...

Ma quello che mi domandavo è se si possono risparmiare un paio di uguaglianze evitando di passare attraverso l'integrazione rispetto alla probabilità immagine $P_X$, cioè se posso fare direttamente
$E[X]=\int X(\omega)dP(\omega)=\int_0^{\infty} \lambda [0,X(\omega)]dP(\omega)=P\otimes\lambda (B)=...$

Il teorema di Fubini-Tonelli dovrebbe essere applicabile, no? E in tal caso, $B$ chi è?

[DajeForte]

"retrocomputer":$\int X(\omega)dP(\omega)=\int_0^{\infty} \lambda [0,X(\omega)]dP(\omega)$

Qua io direi che c'e' qualcosa che non va: nell'integrale di destra stai integrando rispetto alla misura $P$, ma su $(0,infty)$ e non su $Omega$.

Io procederei cosi':

$int_{Omega} X(omega) dP(omega) = int_{Omega} ( int_0^{X(omega)} d lambda(x) ) \ dP(omega) = int_{(0,+infty) "x" Omega} 1_{\{x
Nel secondo passaggio ho usato la (ormai amica...) funzione indicatrice per ottenere
$X(omega) = int_0^{X(omega)} d lambda(x) = int_{(0,+infty)} 1_{ \{x e Fubini (piu' precisamente Tonelli visto che la funzione integranda $f(omega,x) = 1_{\{x
Riusando Tonelli, ovviamente nell'altra direzione, ottieni:

$int_{(0,+infty)} int_{Omega} 1_{ \{x

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[retrocomputer]

"DajeForte":
Qua io direi che c'e' qualcosa che non va: nell'integrale di destra stai integrando rispetto alla misura $P$, ma su $(0,infty)$ e non su $Omega$.

Sì, l'integrale è su $\Omega$... Ho fatto copia&incolla e non ho corretto tutto

I tuoi passaggi mi tornano, grazie