Speranza di una variabile aleatoria binomiale
Ciao, sto mettendo insieme un piccolo testo con degli esercizi e mi trovo ogni tanto a mettere degli esercizi nel posto sbagliato, nel senso che li metto magari prima di averne enunciato la teoria necessaria.
Oggi è la volta appunto della speranza di una variabile aleatoria $S$ di legge binomiale $B(n,p)$.
OK, è facile, solo che nel mio testo l'ho usata prima di introdurre il concetto di variabili aleatorie indipendenti e questo apparentemente non sembrerebbe un problema, visto che uno dice:
so che la variabile binomiale $S\sim B(n,p)$ è somma di $n$ variabili bernoulliane $X_1,...,X_n$ di parametro $p$ e uso la regola dell'integrale della somma:
$E=E[X_1+...+X_n]=E[X_1]+...+E[X_n]=np$
Ma dove sta il problema?
Il problema è che la variabile binomiale è somma di $n$ variabili bernoulliane indipendenti, quindi il metodo di cui sopra non lo posso usare prima di definire l'indipendenza, anche se tale concetto non viene mai applicato... Oppure posso? Cioè, se sommo $n$ variabili bernoulliane di parametro $p$ non indipendenti, la speranza risulta la stessa, no?
Comunque ho due possibilità:
1) sposto gli esercizi che fanno uso della speranza della variabile binomiale dopo il concetto di indipendenza;
2) calcolo la suddetta speranza senza il concetto di indipendenza.
Preferirei il secondo caso e ho trovato un procedimento per il calcolo della speranza che passa attraverso il calcolo della speranza di $S^h$ e poi si pone $h=1$ (peraltro da me già usato per il calcolo della speranza di una variabile ipergeometrica).
Conoscete altri procedimenti?
Oggi è la volta appunto della speranza di una variabile aleatoria $S$ di legge binomiale $B(n,p)$.
OK, è facile, solo che nel mio testo l'ho usata prima di introdurre il concetto di variabili aleatorie indipendenti e questo apparentemente non sembrerebbe un problema, visto che uno dice:
so che la variabile binomiale $S\sim B(n,p)$ è somma di $n$ variabili bernoulliane $X_1,...,X_n$ di parametro $p$ e uso la regola dell'integrale della somma:
$E
Ma dove sta il problema?
Il problema è che la variabile binomiale è somma di $n$ variabili bernoulliane indipendenti, quindi il metodo di cui sopra non lo posso usare prima di definire l'indipendenza, anche se tale concetto non viene mai applicato... Oppure posso? Cioè, se sommo $n$ variabili bernoulliane di parametro $p$ non indipendenti, la speranza risulta la stessa, no?
Comunque ho due possibilità:
1) sposto gli esercizi che fanno uso della speranza della variabile binomiale dopo il concetto di indipendenza;
2) calcolo la suddetta speranza senza il concetto di indipendenza.
Preferirei il secondo caso e ho trovato un procedimento per il calcolo della speranza che passa attraverso il calcolo della speranza di $S^h$ e poi si pone $h=1$ (peraltro da me già usato per il calcolo della speranza di una variabile ipergeometrica).
Conoscete altri procedimenti?
Risposte
Ciao,
perchè non utilizzi direttamente la definizone del valore atteso di una Binomiale?
E' una sommatoria, dimostrarla è solo questione di qualche calcolo.. così ti eviti ogni questione sull'indipendenza.
perchè parli di:
la Binomiale è per v.a. discrete e di integrali non se ne parla, o sbaglio interpretazione di "integrale" in questo contesto? mi suona solo male
perchè non utilizzi direttamente la definizone del valore atteso di una Binomiale?
E' una sommatoria, dimostrarla è solo questione di qualche calcolo.. così ti eviti ogni questione sull'indipendenza.
perchè parli di:
regola dell'integrale della somma:
la Binomiale è per v.a. discrete e di integrali non se ne parla, o sbaglio interpretazione di "integrale" in questo contesto? mi suona solo male
"hamming_burst":
perchè non utilizzi direttamente la definizone del valore atteso di una Binomiale?
Già, perché?
Ho trovato questo PDF
http://amath.colorado.edu/courses/4570/2007fall/HandOuts/binexp.pdf
e in effetti mi pare semplice, una volta visto come si fa
Se non erro c'è solo un errore perché continua a mettere $x=0$ sotto le sommatorie anche quando ha introdotto la $y$, confermi?perchè parli di:
[quote]regola dell'integrale della somma:
la Binomiale è per v.a. discrete e di integrali non se ne parla, o sbaglio interpretazione di "integrale" in questo contesto? mi suona solo male
[/quote]Hai ragione, dipende molto da come viene introdotta la speranza nel caso discreto. Se parti subito dalla definizione di speranza, allora l'integrale non lo incontri fino all'introduzione delle variabili reali, ma puoi anche introdurre prima l'integrale rispetto a una misura discreta (sarà la somma di una serie) e poi definisci la speranza di conseguenza.
"retrocomputer":
[quote="hamming_burst"]
perchè non utilizzi direttamente la definizone del valore atteso di una Binomiale?
Già, perché?
[/quote]
puoi inserire una nota a margine sulla semplificazione del calcolo tramite la trasformazione di $n$ Bernoulliane o riportare che se ne riparla solo durante l'indipendenza.
Se non erro c'è solo un errore perché continua a mettere $x=0$ sotto le sommatorie anche quando ha introdotto la $y$, confermi?
confermo
"hamming_burst":
puoi inserire una nota a margine sulla semplificazione del calcolo tramite la trasformazione di $n$ Bernoulliane o riportare che se ne riparla solo durante l'indipendenza.
Buona idea, grazie
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