Speranza condizionale come proiezione ortogonale
Toh, fa anche rima 
La speranza condizionale $E[X|\mathcal{E}]$ di $X\in L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$ rispetto a $\mathcal{E}\subset\mathcal{F}$ mi è stata definita come quella variabile aleatoria $Y\in L^1(\Omega,\mathcal{E},P)$ tale che $\int_A Y\dP=\int_A XdP$ per ogni $A\in\mathcal{E}$.
Poi vedo che nel caso di $L^2$ essa coincide con la proiezione ortogonale di $X$ sul sottospazio chiuso $L^2(\Omega,\mathcal{E},P)$ (sottospazio di $L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$).
Ora, pare che questa seconda affermazione possa essere presa come definizione di speranza condizionale e che la si possa in qualche modo prolungare a $L^1$. Ma come?
Sicuramente considero la trasformazione lineare $h:L^2(\Omega,\mathcal{F},P)\to L^2(\Omega,\mathcal{E},P)$ tale che $X\mapsto E[X|\mathcal{E}]$, da uno spazio di Hilbert in un suo sottospazio chiuso, e voglio prolungarla a una $H:L^1(\Omega,\mathcal{F},P)\to L^1(\Omega,\mathcal{E},P)$.
Di teoremi di prolungamento ne ho visti alcuni, ma quale posso usare?
Uno mi chiede che la trasformazione sia lineare e continua e che il sottospazio sia chiuso, mentre un altro chiede un sottospazio denso e la trasformazione lineare limitata (cioè tale che $||h(f)||\leq c||f||$ per ogni $f\inL^2(\Omega,\mathcal{F},P)$).
Per esempio, $L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$ è denso in $L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$?
Hanno dei nomi questi teoremi? Il primo l'ho trovato nel Brezis come generalizzazione del teorema di Hahn-Banach, mentre il secondo l'ho visto in un pdf dove lo chiamano Bounded Linear Transformation Theorem...
La speranza condizionale $E[X|\mathcal{E}]$ di $X\in L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$ rispetto a $\mathcal{E}\subset\mathcal{F}$ mi è stata definita come quella variabile aleatoria $Y\in L^1(\Omega,\mathcal{E},P)$ tale che $\int_A Y\dP=\int_A XdP$ per ogni $A\in\mathcal{E}$.
Poi vedo che nel caso di $L^2$ essa coincide con la proiezione ortogonale di $X$ sul sottospazio chiuso $L^2(\Omega,\mathcal{E},P)$ (sottospazio di $L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$).
Ora, pare che questa seconda affermazione possa essere presa come definizione di speranza condizionale e che la si possa in qualche modo prolungare a $L^1$. Ma come?
Sicuramente considero la trasformazione lineare $h:L^2(\Omega,\mathcal{F},P)\to L^2(\Omega,\mathcal{E},P)$ tale che $X\mapsto E[X|\mathcal{E}]$, da uno spazio di Hilbert in un suo sottospazio chiuso, e voglio prolungarla a una $H:L^1(\Omega,\mathcal{F},P)\to L^1(\Omega,\mathcal{E},P)$.
Di teoremi di prolungamento ne ho visti alcuni, ma quale posso usare?
Uno mi chiede che la trasformazione sia lineare e continua e che il sottospazio sia chiuso, mentre un altro chiede un sottospazio denso e la trasformazione lineare limitata (cioè tale che $||h(f)||\leq c||f||$ per ogni $f\inL^2(\Omega,\mathcal{F},P)$).
Per esempio, $L^2(\Omega,\mathcal{F},P)$ è denso in $L^1(\Omega,\mathcal{F},P)$?
Hanno dei nomi questi teoremi? Il primo l'ho trovato nel Brezis come generalizzazione del teorema di Hahn-Banach, mentre il secondo l'ho visto in un pdf dove lo chiamano Bounded Linear Transformation Theorem...
Risposte
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comunque se l'hai dimostrato per $L^2$ procedi su $L^1$ utilizzando le troncate su funzioni positive e poi estendere per linearità... e questo risponde un po' alla tua domanda...
comunque se l'hai dimostrato per $L^2$ procedi su $L^1$ utilizzando le troncate su funzioni positive e poi estendere per linearità... e questo risponde un po' alla tua domanda...
Ciao retro, non mi sono chiare alcune cose.
Quando dici di trovare una funzione $h:L^1(Omega,mathcal{F},P) to L^1(Omega, mathcal(E},P)$ definita come $X to E[X|mathcal{E}]$, penso ti basti far vedere che tutto sia ben definito, ovvero che la media condizionata esiste ed essa e' unica (la linearita' seguira poi dalla linearita' della media condizionata).
Queste cose sono abbastanza standard e si trovano un po' dovunque: se usi Radon-Nikodym e' immediato altrimenti come dice fu puoi andare con costruzioni un po piu' dirette...
Un appunto: quando parli di prioiezione ortogonale della media condizionata in spazi $L^2$ tutto fila bene, ma penso che questi ragionamenti perdano significato se ci allarghiamo ad $L^1$. Infatti in $L^1$ non hai un prodotto scalare (o meglio l'applicazione $(X,Y) to E[XY]$ puo' non essere ben definita; magari puoi sempre costruire un altro prodotto scalare su $L^1$...pondering on that...) e dunque non hai il concetto di ortogonalita'.
Ti ci allego questo ragionamento di natura statistica che facevo stamene, dimmi se ti torna.
La proiezione ortogonale ha la proprieta' di avere distanza minima dal vettore proiettato.
Se ti metti in $L^1$ la distanza e' definita mediante $E|X-Y|$, ovvero una distanza data dagli scarti assoluti. Per una distribuzione statistica si dimostra che il punto che minimizza gli scarti assoluti non e' la media ma la mediana.
Al contrario la media e' il punto che minimizza gli scarti quadratici ed infatti la distanza in $L^2$ viene definita mediante la differenza al quadrato.
Ciao
Quando dici di trovare una funzione $h:L^1(Omega,mathcal{F},P) to L^1(Omega, mathcal(E},P)$ definita come $X to E[X|mathcal{E}]$, penso ti basti far vedere che tutto sia ben definito, ovvero che la media condizionata esiste ed essa e' unica (la linearita' seguira poi dalla linearita' della media condizionata).
Queste cose sono abbastanza standard e si trovano un po' dovunque: se usi Radon-Nikodym e' immediato altrimenti come dice fu puoi andare con costruzioni un po piu' dirette...
Un appunto: quando parli di prioiezione ortogonale della media condizionata in spazi $L^2$ tutto fila bene, ma penso che questi ragionamenti perdano significato se ci allarghiamo ad $L^1$. Infatti in $L^1$ non hai un prodotto scalare (o meglio l'applicazione $(X,Y) to E[XY]$ puo' non essere ben definita; magari puoi sempre costruire un altro prodotto scalare su $L^1$...pondering on that...) e dunque non hai il concetto di ortogonalita'.
Ti ci allego questo ragionamento di natura statistica che facevo stamene, dimmi se ti torna.
La proiezione ortogonale ha la proprieta' di avere distanza minima dal vettore proiettato.
Se ti metti in $L^1$ la distanza e' definita mediante $E|X-Y|$, ovvero una distanza data dagli scarti assoluti. Per una distribuzione statistica si dimostra che il punto che minimizza gli scarti assoluti non e' la media ma la mediana.
Al contrario la media e' il punto che minimizza gli scarti quadratici ed infatti la distanza in $L^2$ viene definita mediante la differenza al quadrato.
Ciao
Scusate se spesso ritorno sulle cose dopo mesi Purtroppo per me la matematica è attualmente relegata al ruolo di hobby 
Comunque forse ho presentato male il mio dilemma, o meglio la "mia" soluzione. Vi metto un paio di link dove viene spiegato il tutto e magari discutiamo su questo:
http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-0 ... Spaces.pdf
a pagina 18 si definisce la speranza condizionale per $L^2$ come proiezione ortogonale e l'estensione a $L^1$ viene data nel teorema successivo al punto (4).
Il teorema BLT si trova qui.
Purtroppo per me la matematica è attualmente relegata al ruolo di hobby Comunque forse ho presentato male il mio dilemma, o meglio la "mia" soluzione. Vi metto un paio di link dove viene spiegato il tutto e magari discutiamo su questo:
http://www.math.ucsd.edu/~bdriver/231-0 ... Spaces.pdf
a pagina 18 si definisce la speranza condizionale per $L^2$ come proiezione ortogonale e l'estensione a $L^1$ viene data nel teorema successivo al punto (4).
Il teorema BLT si trova qui.
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