Spazio campionario errato?

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Salve a tuttti, ho il seguente esercizio:
"Abbiamo a disposizione 3 urne e 16 palline: 3 blu, 4 verdi, e 9 rosse. Ognuna delle palline
viene inserita a caso in una delle tre urne. Calcolare la probabilità che nessun urna rimanga vuota":
Io ho pensato che tutte le disposizioni possibili sono $3^16$, mentre quelle che soddisfano il vincolo nessun urna vuota dovrebbero essere quelle in cui delle 16 palline 3 sono messe in una delle diverse urne (quindi in $3!$ modi) mentre le 13 rimanenti possono andare in un'urna qualsiasi senza vincoli quindi in $3^13$ modi.
In sostanza la probabilità dovrebbe essere $ (3^13*3!)/3^16=2/9 $ il che sinceramente mi sembra troppo bassa, e penso di aver sbagliato qualcosa, qualcuno è in grado di dirmi cosa?
Forse dovevo considerare uno spazio campionario su combinazioni anziché disposizioni?

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Ho trovato una soluzione in rete che dice: L'evento E :={nessuna delle urne rimane vuota" si scrive come $E = E_1 nn E_2 nn E_3$
dove $E_i$ :={"urna i non rimane vuota"} Applicando la legge di De Morgan l'evento $E^c$ ={almeno una delle urne e vuota"} ha rappresentazione: $E^c = E_1^c uu E_2^c uu E_3^c$ per ciò $ P(E)=1-P(E^c)=1-(2^16/3^16+2^16/3^16+2^16/3^16-1/3^16-1/3^16-1/3^16+0)=(2^16-1)/3^15~= 0,9954 $

E tuttavia non riesco a capire cosa c'è di sbagliato sul mio ragionamento iniziale...