Somma in quadratura

[alessiaprincipi]

Buonasera, vorrei sapere se c'è una spiegazione/dimostrazione della formula della somma in quadratura delle incertezze. Non capisco infatti perché dovrei ad esempio fare la somma in quadratura delle incertezze di tipo A e di tipo B.
Sulle mie dispense viene riportata questa formula:

\[
\sigma_{tot} = \sqrt{\sigma_A^2+\sigma_B^2}
\]

dove con incertezze di tipo A si intendono tutte quelle incertezze stimare mediante metodi statistici;
mentre con incertezze di tipo B quelle stimate in altri modi. Rientrano in questa categoria ad esempio l'incertezza sulla risoluzione dello strumento oppure l'errore di calibrazione dello strumento. Non vi è però alcuna spiegazione della suddetta.

Grazie e buona serata.

[Lo_zio_Tom]

Nel caso che hai esposto, incertezza totale dello strumento è abbastanza chiaro che la variabile causale Z=errore di misurazione sarà data dalla somma degli errori totali, qundi, ad esempio,

$Z=X+Y$

dove in questo caso $X$ rappresenta la variabile Errore Statistico mentre $Y$ rappresenta la variabile errore di calibrazione dello strumento.

Per calcolare la varianza di $Z$, usando la sua definizione ottieni

$\mathbb{V}[Z]=\mathbb{E}[X+Y]^2-\mathbb{E}^2[X+Y]$

Assumendo che $X$ ed $Y$ siano indipendenti (o al più non correlate) e svolgendo i calcoli (che sicuramente saprai fare) ottieni la dimostrazione della forumula richiesta.

Anche per te, come per l'utente che ha recentemente postato un topic sulle incertezze e propagazione degli errori, questa dispensina può essere utile

[alessiaprincipi]

Buongiorno grazie della risposta e delle dispense. Ho provato a dimostrare la formula in due modi:

[*:15dpzhzh]a partire dalla definizione di varianza:
$ \mathbb{V}[Z]=\mathbb{E}[X+Y]^2-\mathbb{E}^2[X+Y] $[/*:m:15dpzhzh][/list:u:15dpzhzh]
che mi ha indicato nella sua risposta.


[*:15dpzhzh]E con le derivate parziali che ho visto essere utilizzate all'interno delle dispense da lei segnalate.[/*:m:15dpzhzh][/list:u:15dpzhzh]

Prima "dimostrazione"

Noi sappiamo che la varianza di una combinazione lineare di variabili casuali è data da:

\[

Var[X \pm Y] =
E[((X ±Y)−E[X ±Y])^2] \\
= E[((X −E[X])±(Y −E[Y]))^2] \\
= E[(X −E[X])^2 + (Y −E[Y])^2±2 (X −E[X]) (Y −E[Y])] \\
= Var[X] +Var[Y]±2Cov[X,Y].

\]

Se $X$ e $Y$ sono indipendenti allora la $Cov[X,Y] = 0$ e quindi la $Var[Z] = Var[X+Y] = Var[X] + Var[Y]$

Siccome poi $Var[\cdot] = \sigma_{[\cdot]}^2$

L'incertezza su $Z$ è data dalla radice quadrata delle varianze:

$\sigma_Z = \sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}$


Seconda "dimostrazione"
\[
Z = X + Y \\

\sigma_Z^2 = \left(\dfrac{\partial Z}{\partial X}\right)^2 \cdot \sigma_X^2 +\left(\dfrac{\partial Z}{\partial Y}\right)^2 \cdot \sigma_Y^2 \\

\sigma_Z = \sqrt{\sigma_X^2+\sigma_Y^2}

\]

Mi dica se ho commesso qualche errore e grazie ancora per la disponibilità.