Somma di va...semplice ma utile

[Lo_zio_Tom]

Date le variabili aleatorie $X_1,....,X_10$ iid

$X_i -={{: ( -1 , 2 ),( (1-p) , p ) :}$

calcolare la legge di $Z=sum_i X_i$

[feddy]

Lascio in spoiler il mio tentativo:

Ho provato a ragionare sulla falsa riga dell'esercizio che ho risolto qui facendo:

$\mathbb{P}(X_1+...+X_{10}=-10)=\mathbb{P}({X_1=-1},...,{X_{10}=-1})=(1-p)^{10}$,

$\mathbb{P}(X_1+...+X_{10}=20)=\mathbb{P}({X_1=2},...,{X_{10}=2})=p^{10}$

Quindi avrei \( P_{Z}(k)=\begin{cases} (1-p)^{10}: k =-10\\ p^{10}: k=20 \end{cases} \)

Che però non mi sembra giusta perché non è una densità visto che la somma sui $k$ non da $1$. Mi piacerebbe che fosse $1-p^{10}$, allora in tal caso sarebbe giusto

[Lo_zio_Tom]

no, così hai trovato solo i valori estremi....mancano tutti gli altri valori del supporto. L'esercizio è un po' più ingegnoso...

Occorre partire dal fatto che la somma di n $B(1,p)$ iid dà come legge una $B(n,p)$

anche la distribuzione che ho proposto assomiglia ad una $B(1,p)$ solo che i valori non sono zero e uno ma $-1$ e $2$

Però basta standardizzare la variabile così $Y=(X+1)/3$ per avere una Y che è una $B(1,p)$

e quindi le probabilità della variabile $SigmaX$ saranno esattamente quelle di una $B(10,p)$ ma con il dominio modificato e ricavabile facilmente dalla relazione

$sum_(i=1)^(10)Y_i=sum_(i=1)^(10)(X_i+1)/3$



Questo me lo sono inventato io ma ti assicuro che ti consente di uscire spesso dai guai....spero quindi che vi sia piaciuto ma che soprattutto vi sia utile per risolvere più facilmente futuri esercizi

ciao ciao