Somma di variabili discrete

[markowitz]

Io sapevo che valeva la seguente

$P(S=s)=sum_(i=0)^(s) P(N_1=s-i) P(N_2=i)$

ma se impongo $N_1=N_2$ distribuite come Poisson $(lambda)$
se non erro ottengo

$P(S=s)=sum_(i=0)^(s) e^(-lambda)*lambda^(s-i)/((s-i)!)*e^(-lambda)*lambda^(i)/(i!)=sum_(i=0)^(s) e^(-2*lambda)*lambda^s/((s-i)!i!)$

che non è quello che dovrei ottenere ovvero $P(2lambda)$ perché?

[cenzo1]

Probabilmente vale, è solo una questione di manipolare quell'epressione..

$P(S=s)=sum_(i=0)^(s) e^(-lambda)*lambda^(s-i)/((s-i)!)*e^(-lambda)*lambda^(i)/(i!)=sum_(i=0)^(s) e^(-2*lambda)*lambda^s/((s-i)!i!)=sum_(i=0)^(s) e^(-2*lambda)*(2^s*lambda^s)/(2^s*(s-i)!i!)=sum_(i=0)^(s) e^(-2*lambda)*(2lambda)^s/(2^s*(s-i)!i!)=e^(-2*lambda)*(2lambda)^s*sum_(i=0)^(s) 1/(2^s*(s-i)!i!)=(e^(-2*lambda)*(2lambda)^s)/(s!)=P_{2\lambda}(s)$

Resta però da dimostrare che $\sum_(i=0)^(s) 1/(2^s*(s-i)!i!)=1/(s!)$ ovvero che $\sum_(i=0)^(s) 1/(2^s)*((s),(i))=1$

da cui $\sum_(i=0)^(s)((s),(i))=2^s$ che dovrebbe essere una cosa nota.

[markowitz]

Hai ragione, era quel $2^s$ che sarebbe dovuto venirmi in mente. Grazie.

[markowitz]

Ripetendo l'esercizio per una coppia di Binomiali negative di parametri (r,p) e (k,p) mi salta fuori il termine:

$sum_(i)^(n) C(i-1,r-1)*(n-i-1,k-1)=C(n-1,k+r-1)$

ed effettivamente funziona.

Tuttavia non ho trovato identità combinatorie notevoli che esprimessero ugualianze similari.
Come si può dare una dimostrazione formale?