Somma di variabili casuali esponenziali
Salve a tutti! Ho un problema con questo esercizio:
Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali esponenziali indipendenti di parametri $3$ e $1$ rispettivamente. Calcolare $P[X + Y < 2]$.
Sono andato molto ad istinto per tentare di risolvere questo esercizio e alla fine il risultato che ottengo differisce di ben due centesimi da quello che dovrebbe essere, quindi presumo che il mio procedimento sia sbagliato. Non linciatemi se il mio procedimento è a dir poco blasfemo
ma non sapevo proprio che pesci pigliare. Vi prego di dirmi che falle teoriche ci sono nel mio svolgimento e quindi una dritta su come risolvere correttamente l'esercizio. Grazie mille anticipatamente!
Sapendo che la funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale è $1-e^(-\lambdax)$ costruisco le due funzioni di ripartizione delle due variabili casuali:
$F(x)=1-e^(-3x)$ e $G(y)=1-e^(-y)$
Sapendo che $P[X+Y < 2]=P[X<2-Y]=P[Y<2-X]$ allora:
$F(2-Y)=G(2-X)$ cioè $1-e^(-3(2-Y))=1-e^(-(2-X))$ da cui $e^(3Y-6)=e^(X-2)$. Questa uguaglianza è vera se $3Y-6=X-2$ cioè se $X=3Y-4$.
Sostituiamo: $P[X+Y < 2]=P[3Y-4+Y<2]=P[Y<3/2]$
Per cui concludiamo calcolando $G(3/2)=1-e^(-3/2)=0.77687$
Siano $X$ e $Y$ due variabili casuali esponenziali indipendenti di parametri $3$ e $1$ rispettivamente. Calcolare $P[X + Y < 2]$.
Sono andato molto ad istinto per tentare di risolvere questo esercizio e alla fine il risultato che ottengo differisce di ben due centesimi da quello che dovrebbe essere, quindi presumo che il mio procedimento sia sbagliato. Non linciatemi se il mio procedimento è a dir poco blasfemo
ma non sapevo proprio che pesci pigliare. Vi prego di dirmi che falle teoriche ci sono nel mio svolgimento e quindi una dritta su come risolvere correttamente l'esercizio. Grazie mille anticipatamente!Sapendo che la funzione di ripartizione della distribuzione esponenziale è $1-e^(-\lambdax)$ costruisco le due funzioni di ripartizione delle due variabili casuali:
$F(x)=1-e^(-3x)$ e $G(y)=1-e^(-y)$
Sapendo che $P[X+Y < 2]=P[X<2-Y]=P[Y<2-X]$ allora:
$F(2-Y)=G(2-X)$ cioè $1-e^(-3(2-Y))=1-e^(-(2-X))$ da cui $e^(3Y-6)=e^(X-2)$. Questa uguaglianza è vera se $3Y-6=X-2$ cioè se $X=3Y-4$.
Sostituiamo: $P[X+Y < 2]=P[3Y-4+Y<2]=P[Y<3/2]$
Per cui concludiamo calcolando $G(3/2)=1-e^(-3/2)=0.77687$
Risposte
io lo avrei risolto con le densità $f$ (occhio agli estremi di integrazione)
Ma risolverlo integrando le densitá non é la stessa cosa di ricorrere direttamente alla funzione di ripartizione?
io li ho sempre risolti con la densità, però non so dirti se risolverlo con la funzione di ripartizione sia giusto o no...
Non credo sia giusto anche perchè un errore del 2% non è dato da arrotondamento.
Devi farlo come dice itpareid integrando.
Ecco secondo me è qui l'errore. $P[X<2-Y]$ è un numero o meglio una probabilità (salvo sviste è questo 0.7982365).
$F(2-Y)$ non è un numero perchè se $Y$ è un tot vale una cosa se un'altra è un altro valore. Quindi secondo me il passaggio dove prendi la seconda uguaglianza della prima equazione e ne derivi quella sulle funzioni di ripartizione non va.
Ma poi nel problema iniziale se scambi il ruolo di $X$ ed $Y$ il risultato è lo stesso.
Nel tuo ragionamento non mi pare.
Devi farlo come dice itpareid integrando.
"ghiozzo":
Sapendo che $P[X+Y < 2]=P[X<2-Y]=P[Y<2-X]$ allora:
$F(2-Y)=G(2-X)$
Ecco secondo me è qui l'errore. $P[X<2-Y]$ è un numero o meglio una probabilità (salvo sviste è questo 0.7982365).
$F(2-Y)$ non è un numero perchè se $Y$ è un tot vale una cosa se un'altra è un altro valore. Quindi secondo me il passaggio dove prendi la seconda uguaglianza della prima equazione e ne derivi quella sulle funzioni di ripartizione non va.
Ma poi nel problema iniziale se scambi il ruolo di $X$ ed $Y$ il risultato è lo stesso.
Nel tuo ragionamento non mi pare.
"ghiozzo":
Sapendo che $P[X+Y < 2]=P[X<2-Y]=P[Y<2-X]$ allora:
$F(2-Y)=G(2-X)$
Anche secondo me quel passaggio è errato. Tra l'altro così arrivi a dire $X=3Y-4$ contrariamente all'ipotesi che X e Y sono indipendenti..
"cenzo":
[quote="ghiozzo"]Sapendo che $P[X+Y < 2]=P[X<2-Y]=P[Y<2-X]$ allora:
$F(2-Y)=G(2-X)$
Anche secondo me quel passaggio è errato. Tra l'altro così arrivi a dire $X=3Y-4$ contrariamente all'ipotesi che X e Y sono indipendenti..[/quote]
è vero! Non ci ero proprio arrivato che ero in contraddizione con le ipotesi dell'esercizio.
Comunque non sono ancora riuscito a risolverlo
Mi avete detto di integrare la densità ma di quale delle due variabili? E con quali estremi? Sapendo che entrambe le variabili sono esponenziali devo ricavare la densità della loro somma? Se sì in che modo?
Direi che l'integrale da calcolare è questo:
$P(X+Y<2)=int_{{X+Y<2}} dP=int_{{0 le x, 0 le y, x+y<2}}3e^{-3x}e^{-y}dxdy$
ed è un integrale doppio su un triangolo. Per arrivarci si applica la formula di cambiamento di variabile:
$int_{{X+Y<2}}dP=int_{{x+y<2, x>=0, y>=0}}dP_{X, Y}$ dove $dP_{X, Y}$ indica la distribuzione congiunta di $X, Y$; grazie all'ipotesi di indipendenza risulta $dP_{X, Y}=3e^{-3x}e^{-y}dxdy$.
$P(X+Y<2)=int_{{X+Y<2}} dP=int_{{0 le x, 0 le y, x+y<2}}3e^{-3x}e^{-y}dxdy$
ed è un integrale doppio su un triangolo. Per arrivarci si applica la formula di cambiamento di variabile:
$int_{{X+Y<2}}dP=int_{{x+y<2, x>=0, y>=0}}dP_{X, Y}$ dove $dP_{X, Y}$ indica la distribuzione congiunta di $X, Y$; grazie all'ipotesi di indipendenza risulta $dP_{X, Y}=3e^{-3x}e^{-y}dxdy$.
grazie mille dissonance!
Ma se le variabili non fossero state indipendenti? Quale sarebbe stata la funzione di densità congiunta?
Ma se le variabili non fossero state indipendenti? Quale sarebbe stata la funzione di densità congiunta?
Boh? 
Senza l'ipotesi di indipendenza calcolare le distribuzioni congiunte è molto più difficile.
Senza l'ipotesi di indipendenza calcolare le distribuzioni congiunte è molto più difficile.
ah ok grazie ancora di tutto a tutti!
grazie ancora di tutto a tutti!
Senza l'indipendenza la distribuzione congiunta la devi conoscere o comunque ti devono essere assegnati dei parametri che te la caratterizzano
ovvero se hai un vettore $(X,Y)$ normale otre a media e varianza di X e Y devi avere anche correlazione o covarianza.
Ricordati che vale sempre questa regola, a partire da una distribuzione congiunta puoi ottenere le marginali, ma se hai solo lemarginali non puoi ottenere la congiunta; ovviamente con l'idipendenza si perchè la ottieni tramite prodotto.
ovvero se hai un vettore $(X,Y)$ normale otre a media e varianza di X e Y devi avere anche correlazione o covarianza.
Ricordati che vale sempre questa regola, a partire da una distribuzione congiunta puoi ottenere le marginali, ma se hai solo lemarginali non puoi ottenere la congiunta; ovviamente con l'idipendenza si perchè la ottieni tramite prodotto.
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