Somma di variabili casuali
Ciao ragazzi vi pongo due quesiti che suppongo sia abbastanza semplici ma che io non so risolvere 
1)Dimostrare che la somma di vc Bernoulliane indipendenti sia una Binomiale sfruttando la proprietà della somma di funzioni generatrici dei momenti.
Io l'ho posto così:
$X_i->Ber(θ_i)$ con fgm $M_X (t) =(1-θ_i)+θ_i e^t$
quindi essendo
$Y=X_1+...+X_n $ ho $M_Y (t)=\prod_{i=1}^n M_(X_i) (t)= \prod_{i=1}^n (1-θ_i)+θ_i e^t=$
E ora come lo risolvo? Ho problemi con le produttorie
2)Dimostrare che la somma di vc Esponenzili indipendenti sia una Gamma sfruttando la proprietà della somma di funzioni generatrici dei momenti.
Anche qui ho impostato il problema però poi mi sono bloccato.
1)Dimostrare che la somma di vc Bernoulliane indipendenti sia una Binomiale sfruttando la proprietà della somma di funzioni generatrici dei momenti.
Io l'ho posto così:
$X_i->Ber(θ_i)$ con fgm $M_X (t) =(1-θ_i)+θ_i e^t$
quindi essendo
$Y=X_1+...+X_n $ ho $M_Y (t)=\prod_{i=1}^n M_(X_i) (t)= \prod_{i=1}^n (1-θ_i)+θ_i e^t=$
E ora come lo risolvo? Ho problemi con le produttorie
2)Dimostrare che la somma di vc Esponenzili indipendenti sia una Gamma sfruttando la proprietà della somma di funzioni generatrici dei momenti.
Anche qui ho impostato il problema però poi mi sono bloccato.
Risposte
ti sei complicato di molto la vita....forse anche perché il quesito lo hai riportato male.
Questa è la domanda corretta
e lo dimostri in un nanosecondo ricordando che
$(q+pe^t)^n$
è proprio la fgm di una binomiale $B(n,p)$
stessa cosa per l'altro esercizio. Lì però devi fare attenzione a come parametrizzi la gamma, ovviamente.
Questa è la domanda corretta
"dimostrare che la somma di $n$ variabili bernulliane i.i.d. è una binomiale"
e lo dimostri in un nanosecondo ricordando che
$(q+pe^t)^n$
è proprio la fgm di una binomiale $B(n,p)$
stessa cosa per l'altro esercizio. Lì però devi fare attenzione a come parametrizzi la gamma, ovviamente.
No il quesito riporta solo l'indipendenza. Non sono identicamente distribuite.
Guarda se fossero anche identicamente distribuite non avrei difficoltà, ma riporta solo l'indipendenza poichè devo sfruttare una proposizione: la fgm della somma di n vettori aleatori indipendenti, ma non identicamente distribuiti.
Grazie per l'aiuto. Volevo sapere però se fosse possibile applicare questa proposizione in questi casi specifici.
Grazie per l'aiuto. Volevo sapere però se fosse possibile applicare questa proposizione in questi casi specifici.
Presta bene attenzione:
Supponiamo di avere due va. bernulliane i.i.d. di parametro $theta$. Come sai bene, è facilissimo dimostrare che la somma sia una binomiale $B(2;theta)$
Se invece, come dal tuo quesito (che ripeto, ti è stato posto male....)
...le variabili non sono identicamente distribuite, allora la loro somma NON è una Binomiale, anche se le assomiglia molto.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Ecco infatti un controesempio che dimostra che, ciò che ti è stato chiesto di dimostrare, è falso
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Ho preso due bernulliane indipendenti, di parametri $Y~B(1;1/2)$ e $X~B(1;1/3)$
Ti ho calcolato la distribuzione della somma e la distribuzione binomiale con parametro $(1/2+1/3)/2~~0.42$ che, come vedi, non è proprio la distribuzione esatta ma quasi....
(cliccami per ingrandirmi)
Se tu invece sei in grado di dimostrarmi che questa (che è la distribuzione esatta) è riconducibile ad una binomiale fammelo sapere perché c'è sempre qualche cosa da imparare...
$(X+Y)={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/6 , 3/6 , 1/6 ) :}$
saluti
Supponiamo di avere due va. bernulliane i.i.d. di parametro $theta$. Come sai bene, è facilissimo dimostrare che la somma sia una binomiale $B(2;theta)$
Se invece, come dal tuo quesito (che ripeto, ti è stato posto male....)
"lorache":
1)Dimostrare che la somma di vc Bernoulliane indipendenti sia una Binomiale...
...le variabili non sono identicamente distribuite, allora la loro somma NON è una Binomiale, anche se le assomiglia molto.
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Ecco infatti un controesempio che dimostra che, ciò che ti è stato chiesto di dimostrare, è falso
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Ho preso due bernulliane indipendenti, di parametri $Y~B(1;1/2)$ e $X~B(1;1/3)$
Ti ho calcolato la distribuzione della somma e la distribuzione binomiale con parametro $(1/2+1/3)/2~~0.42$ che, come vedi, non è proprio la distribuzione esatta ma quasi....
(cliccami per ingrandirmi)
Se tu invece sei in grado di dimostrarmi che questa (che è la distribuzione esatta) è riconducibile ad una binomiale fammelo sapere perché c'è sempre qualche cosa da imparare...
$(X+Y)={{: ( 0 , 1 , 2 ),( 2/6 , 3/6 , 1/6 ) :}$
saluti
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