Somma di due variabili aleatorie uniformi indipendenti.

[Sling]

Salve a tutti.
Ho delle difficoltà a capire lo svolgimento del seguente esercizio:

Se X e Y sono variabili aleatorie indipendenti entrambe distribuite uniformemente su $(0,1)$, si calcoli la densità della somma X + Y

Lo svolgimento è il seguente:

Per definizione di distribuzione uniforme: $f_X(a) = f_Y(a) = {(1,if 0
Dalla formula: $f_(X+Y)(a) = int_{-infty}^{infty} f_X(a-y)f_Y(y) dy$ otteniamo:

$f_(X+Y)(a) = int_{0}^{1} f_X(a-y) dy$ (qui penso abbia posto $f_Y(y) = 1$ con $y$ che varia tra $0$ e $1$). Poi prosegue:

Per $0<=a<=1$ questo implica che: $f_(X+Y)(a) = int_{0}^{a} dy = a$

Per $1<=a<=2$ questo implica che: $f_(X+Y)(a) = int_{a-1}^{1} dy = 2-a$

Questi due passaggi non li ho proprio capiti. Come mai $a$ varia tra $0$ e $1$ e tra $1$ e $2$?

[Lo_zio_Tom]

Prova a fare un grafico. È semplicissimo e comunque puoi trovare lo stesso esercizio già postato n volte qui.

Disegna il grafico del quadrato $[0,1]xx[0,1]$

Fai variare li dentro la retta $x+y=z$ e calcoli l'area di $y1$

Le aree così descritte al variare di $z in [0,2]$ definiscono la CDF della somma. Derivando ottieni il risultato del libro, ovvero una distribuzione triangolare.

Prova ora a calcolare la distribuzione di altre funzioni di $X$ e $Y$, ad esempio $Z=XY$, $X/Y$, $|X-Y|$, $X/(X+Y)$ ecc ecc

Tutti questi esempi li trovi già sul forum, tutti risolti e commentati da me (anche con diversi metodi di soluzione ed anche per variabili non indipendenti).

Il tuo testo ha risolto il problema semplicemente facendo la convoluzione delle due variabili ma, se segui i miei consigli, calcoli subito qualunque trasformazione e non solo la somma di variabili indipendenti.

Se invece vuoi necessariamente usare la convoluzione ed hai problemi la devi ripassare; se dopo avessi ancora dubbi in merito alle tecniche di convoluzione, ti consiglio di chiedere aiuto nella stanza di analisi. Qui siamo nella stanza di statistica e certe cose le diamo per scontate

Ciao

[Sling]

Grazie per la risposta!
Dunque vediamo se ho capito:

nella regione di piano $[0,1] xx [0,1]$, la funzione di distribuzione $F_Z(a)$ ($Z=X+Y$) è pari all'area sottesa alla retta $a=x+y$. Quindi trovando $F_Z(a)$ e derivandola trovo la densità $f_Z$

Dunque con qualche semplice considerazione geometrica trovo che $F_Z(a) = {(a^2/2,if 0
Derivando: $f_Z(a) = d/(da) F_Z(a) = {(a,if 0
mentre fuori dalla regione $[0,1] xx [0,1]$ la densità è $0$. È corretto?

Comunque nelle soluzioni si applica direttamente la formula generale per la densità della somma di due variabili aleatorie indipendenti, ottenuta appunto derivando la convoluzione delle funzioni di distribuzione.

[Lo_zio_Tom]

ci devi solo mettere un = da qualche parte nel dominio perché la distribuzione è continua ed è definita anche in $a=0,1,2$ ed è $F_Z(0)=0 $, $F_Z(1)=1/2$, $F_Z(2)=1$

Infine, una piccola osservazione: per essere precisi devi indicare che $F=0$ per $a<=0$ mentre $F=1$ per $a>=2$ . Nella densità invece devi indicare che $f=0$ altrove...sono dettagli ma devi fare attenzione. Si può usare anche una notazione più compatta, ad esempio così:

Densità:

$f_Z(z)=(1-|1-z|)I_((0;2))(z)$

CDF:

$F_Z(z)=z^2/2 I_((0;1))(z)+[1-(2-z)^2/2]I_([1;2))(z)+I_([2;+oo))(z)$

^^^^^^^^^^^^^
Lo so benissimo come fa il testo...ed è corretto..ma ti volevo suggerire un metodo molto più snello che ti verrà utile in futuro. Utilizzando il metodo del libro puoi avere difficoltà nel capire i corretti estremi di integrazione, come infatti è successo.
Per capire gli estremi di integrazione che usa il testo basta che consideri che

$0
Che implica

$0
Mentre $01$

Tali disuguaglianze evidenziano chiaramente dove integrare la y

[Sling]

Grazie per la risposta, scusa se ti rispondo solo adesso.
In effetti la mia difficoltà era proprio capire i corretti estremi di integrazione!
Con il metodo suggerito da te invece è tutto molto più chiaro quindi penso che da ora in poi userò solo quello.
Seguendo le tue correzioni:

$ F_Z(a) = {(0, if a<0),(a^2/2,if 0<=a<=1),(1-(2-a)^2/2, if 1<=a<=2),(1, if a>2):}$

$ f_Z(a) = {(a,if 0

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[Lo_zio_Tom]

Lo so...sono un rompiscatole...ma la variabile in questione è continua quindi devi mettere le disuguaglianze in modo tale che sia definita in tutto il dominio....nella densità hai escluso il valore $a=1$ mentre nella CDF lo hai incluso 2 volte
In genere, per convenzione, la si definisce continua da destra.

Inoltre farai altri metodi di trasformazione e la scelta di quale sia meglio usare non è sempre scontata.....ad esempio in questo, postato ieri da un utente e che ho appena commentato, è necessario usare un mix dei due metodi. Guardalo perché è molto istruttivo

Ad ogni modo le mie osservazioni sono davvero sottigliezze...l'esercizio lo hai capito bene!

Infine, esercitarsi sul capire bene gli estremi di integrazione è molto istruttivo

[Sling]

Per quanto riguarda la densità effettivamente mi sono dimenticato di includere l'uno! Adesso correggo.
Per quanto riguarda la distribuzione è vero che ho incluso due volte l'uno, ma la fa $F_Z(a)$è continua in $1$:

$lim_{a->1-}F_Z(a) = lim_{a->1+}F_Z(a) = F_Z(1)=1/2$

Quindi non dovrebbe esserci ambiguità giusto?

[Lo_zio_Tom]

È solo una convenzione... ma la consuetudine è definirla continua da destra.... ti ripeto, è una sottigliezza