Somma di due variabili aleatorie con distribuzione geometrica

[sasa1017]

Salve ragazzi.
Mi servirebbe una mano nel capire come, nello svolgimento di una convoluzione tra due distribuzioni geometriche sotto riportate ,si arrivi al risultato finale.
I dati sono questi:

sapendo che PN1(n1)= θ*(1-θ)^(n1-1) e PN2(n2)= θ*(1-θ)^(n2-1) trovare M=N1+N2 sapendo inoltre che n1=1,2,3,... ed n2=1,2,3,...

sono arrivato a questo punto ed il passaggio cruciale è questo:
PM(m)=(per n2=1 fino ad n2=m-1)Σ(θ*(1-θ)^(m-n2-1))*θ*(1-θ)^(n2-1) . Da questa espressione si arriva con una sommatoria notevole probabilmente ad:

PM(m)=(m-1)*θ^2*(1-θ)^(m-2) con m=2,3,4...

vorrei sapere a quale sommatoria notevole si fa riferimento e come si ragiona per risolverlo. Vi ringrazio in anticipo

[Lo_zio_Tom]

a parte il fatto che il risultato è noto, dato che la convoluzione che vai cercando porta ad ottenere una distribuzione di Pascal (binomiale negativa)

$P(M=m)=((m-1),(k-1))theta^k(1-theta)^(m-k)$

$m=k,k+1,k+2,.....$


(nel tuo caso hai $k=2$)

...anche volendo fare tutti i passaggi (che non ti riporto ma che ti invito a provare a fare) è tutto davvero molto semplice

MA, giusto per intenderci, hai dato un'occhiata agli altri topic del forum? Hai visto come i tuoi colleghi si interfacciano nella community? Ti sembra che scrivano quelle porcherie di [strike]formule[/strike] sgorbi illeggibili che hai scritto tu???

Grazie per l'attenzione.....

EDIT: facciamo così, visto che ti sei appena iscritto...dai un'occhiata a come si scrivono le [formule][/formule], datti un po' da fare mostrando qualche sforzo per semplificare 'sta somma....oppure rivolgiti su altre piattaforme....

ciao ciao

[sasa1017]

Siano N1 ed N2 due variabili aleatorie definite per n1=1,2,3... ed n2=1,2,3... , stocasticamente indipendenti e distribuite secondo leggi geometriche di comune parametro θ:

$ PN1(n1)=θ(1-θ)^(n1-1) $ con n1=1,2,3,... 0<θ<1
$ PN2(n2)=θ(1-θ)^(n2-1) $ con n2=1,2,3,... 0<θ<1

- Si determinino le distribuzioni probabilistiche delle variabili aleatorie M=N1+N2 ed M'=N1'+N2',con N1'=N1-1 ed N2'=N2-1.

Ora penso sia leggibile. Spero di ricevere una gentile risposta ma sopratutto che mi sia di aiuto

[Lo_zio_Tom]

"carsal1710":
Ora penso sia leggibile.

il passaggio cruciale è questo:
PM(m)=(per n2=1 fino ad n2=m-1)Σ(θ*(1-θ)^(m-n2-1))*θ*(1-θ)^(n2-1)

No, per nulla.
Sei appena iscritto e quindi cerco di portare un po' di pazienza....quindi ti scrivo tutta la soluzione (tutta, son due passaggi)

ma per la prossima eventuale volta.....DATTI DA FARE, il forum è un ottimo strumento per imparare, è gratis ma si richiede IMPEGNO....

Per semplificare la notazione indico le due geometriche con $X,Y$ e cerchiamo la pmf della somma $Z=X+Y$

Mi sembra abbastanza evidente che

$P(Z=z)=sum_(x=1)^(z-1)theta(1-theta)^(x-1)theta(1-theta)^([(z-x)-1])$

e questo perché se, ad esempio, $z=5$, significa che una variabile può valere $1,2,3,4$ ma obbligatoriamente l'altra dovrà valere rispettivamente $4,3,2,1$

porto fuori dalla somma tutto ciò che non dipende da $x$, moltiplico le cose moltiplicabili e trovo subito


$P(Z=z)=theta^2(1-theta)^(z-2)sum_(x=1)^(z-1)1$

la somma (che non ha più nulla dentro, se non 1) conta gli elementi che vanno da $1$ a $(z-1)$ che sono esattamente $(z-1)$

in fin dei conti:


$P(Z=z)=(z-1)theta^2(1-theta)^(z-2)$

$z=2,3,4,....$

Come detto fin dall'inizio, $Z$ si distribuisce come una Pascal

L'altra richiesta è più o meno sulla stessa falsariga (ed ovviamente anch'essa è una distribuzione nota)

...spero di essere stato chiaro, soprattutto su come ci si interfaccia nella mia stanza.

saluti e [strike]baci[/strike]