Somma di due distribuzioni esponenziali

[matitti]

Ciao a tutti. Ho due distribuzioni esponenziali X e Y con lo stesso perametro $mu$. Mi interessa calcolare la seguente probabilità:
$ P(X+Y<=T) $
Non capisco che tipo di calcoli si faccia. Al prof torna: $ P(X+Y<=T)=[1-e^(mu*T)*(1+mu*T)]$
Potreste gentilmente aiutarmi ad impostare l'integrale da utilizzare? Anche se credo che vi sia un modo di capirlo, e quindi di farlo, più semplice di un integrale.

[Lo_zio_Tom]

Ci sono vari modi di procedere:

1) La distribuzione esponenziale $Exp(mu)$ è una distribuzione $Gamma(1;mu)$ quindi la somma di due esponenziali indipendenti è una $Gamma(2; mu)$

Di conseguenza, per calcolare quella probabilità, non devi fare alcun conto. Basta standardizzare la $Gamma$ risultante ed utilizzare le tavole della chi-quadro. infatti è presto dimostrato che la densità della somma delle due esponenziali è la loro convoluzione:

$F_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)dxint_(-oo)^(z-x)f_(Y)(y)dy$

$f_(Z)(z)=d/(dz)F_(Z)=int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx$

ovvero nel tuo caso avrai:

$f_(Z)(z)=int_(0)^(z)mue^(-mux)mue^(-mu(z-x))dx=mu^2e^(-muz)int_(0)^(z)dx=mu^2ze^(-muz)$

dove per l'appunto riconosciamo subito una distribuzione Gamma di parametri $(2;mu)$

tale distribuzione si trasforma subito in $W=2muZ~chi_((4))^2$

A questo punto per rispondere al quesito basta cercare il valore di $2muT$ sulle tavole della chi-quadro con 4 gradi di libertà.

2) Se invece vuoi trovarti con i conti del prof devi necessariamente risolvere un integrale:

o questo:

$P(Z
oppure questo, integrando la densità congiunta (il prodotto delle due esponenziali) sul dominio richiesto:

$int_(0)^(T)mue^(-mux) dx int_(0)^(T-x)mu e^(-muy) dy$

In questo caso specifico il secondo integrale è molto più immediato, ma è meglio conoscere entrambi i metodi, dato che in alcuni casi è più comodo uno, in altri l'altro.



sono stato un po' prolisso ma spero di averti chiarito bene le idee sulla questione

ciao

[matitti]

Sei stato chiarissimo. Grazie mille!