Somma bernoulliane
Ciao a tutti, avrei un problema nel determinare la funzione di densità di un esercizio:
Ho N variabili aleatorie Bernoulliane, con probabilità p fissata ed uguale per tutte. Sapendo che esse non sono indipendenti tra loro devo determinare la legge di densità della loro somma.
Non so come partire, qualcuno avrebbe un input da darmi?
Ho N variabili aleatorie Bernoulliane, con probabilità p fissata ed uguale per tutte. Sapendo che esse non sono indipendenti tra loro devo determinare la legge di densità della loro somma.
Non so come partire, qualcuno avrebbe un input da darmi?
Risposte
Una variabile aleatoria bernoulliana $X_{i}$ ha p.d.f. del tipo...
$P \{ X_{i}=1\} = p$
$P \{ X_{i}=0\} = 1-p$ (1)
Date n variabili aleatrie bernoulliane $X_{1},\ X_{2},\ ..., X_{n}$ la loro somma $S_{n}= X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}$ ha p.d.f. del tipo...
$P\{S_{n}=k\} = ((n),(k))\ p^{k}\ (1-p)^{n-k}$ (2)
cordiali saluti
$chi$ $sigma$
$P \{ X_{i}=1\} = p$
$P \{ X_{i}=0\} = 1-p$ (1)
Date n variabili aleatrie bernoulliane $X_{1},\ X_{2},\ ..., X_{n}$ la loro somma $S_{n}= X_{1} + X_{2} + ... + X_{n}$ ha p.d.f. del tipo...
$P\{S_{n}=k\} = ((n),(k))\ p^{k}\ (1-p)^{n-k}$ (2)
cordiali saluti
$chi$ $sigma$
Se sono indipendenti si ma io chiedevo quando non sono indipendenti.
Oops!... chiedo scusa per non aver letto il tuo postato con sufficiente attenzione 
...
Allora, se le $X_{n}$ non sono indipendenti il problema si complica subito in maniera notevole!... interpretando le $X_{n}$ come i risultati di una sequenza di 'test', se dobbiamo introdurre dipendenza statistica fra un test e gli altri, forse e' saggio partire dall'ipotesi piu' semplice, vale a dire che il risultato di ogni test sia condizionato unicamente dal risultato del test precedente, nel qual caso possiamo supporre che, detta p la probabilita' di sucesso e q=1-p la probabilita' di insuccesso in ogni singolo test, sia...
$P \{X_{n+1}=1|X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho)$
$P \{X_{n+1}=0|X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho)$ (1)
... dove $0 \le \rho< 1$ tiene in qual modo conto della 'correlazione' tra $X_{n+1}$ e $X_{n}$...
... ti va bene se per cominciare la impostiamo cosi'?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
...Allora, se le $X_{n}$ non sono indipendenti il problema si complica subito in maniera notevole!... interpretando le $X_{n}$ come i risultati di una sequenza di 'test', se dobbiamo introdurre dipendenza statistica fra un test e gli altri, forse e' saggio partire dall'ipotesi piu' semplice, vale a dire che il risultato di ogni test sia condizionato unicamente dal risultato del test precedente, nel qual caso possiamo supporre che, detta p la probabilita' di sucesso e q=1-p la probabilita' di insuccesso in ogni singolo test, sia...
$P \{X_{n+1}=1|X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho)$
$P \{X_{n+1}=0|X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho)$ (1)
... dove $0 \le \rho< 1$ tiene in qual modo conto della 'correlazione' tra $X_{n+1}$ e $X_{n}$...
... ti va bene se per cominciare la impostiamo cosi'?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
"Bluff":
Se sono indipendenti si ma io chiedevo quando non sono indipendenti.
ipergeometrica
"chisigma":
\( P \{X_{n+1}=1|X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho) \)
\( P \{X_{n+1}=0|X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho) \) (1)
... dove \( 0 \le \rho< 1 \) tiene in qual modo conto della 'correlazione' tra \( X_{n+1} \) e \( X_{n} \)...
Ho seguito il tuo ragionamento, molto liscio, ma la domanda che mi sorge è che quindi estendendo alle mie n variabili avrei una cosa del genere:
\( P \{X_{1}=1|X_{2},...,X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho)^{n-1} \)
\( P \{X_{1}=0|X_{2},...,X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho)^{n-1} \)
e se anche fosse così, come le valuto tutte le altre probabilità miste?
"hamming_burst":
ipergeometrica
L'ipergeometrica?Mi sfugge qualcosa.
La distribuzione ipergeometrica si applica ad insiemi contenenti N elementi divisi in due classi: in una abbiamo M oggetti che presentano una certa caratteristica e nell'altra si trovano gli altri N-M elementi con caratteristiche diverse da quella che contraddistingue gli oggetti della prima classe.
Ci si chiede qualcosa del tipo quale sia la probabilità di trovare x elementi appartenenti alla prima classe, effettuando un'estrazione, senza reintroduzione, di campione a caso di n elementi dagli N totali.
Nel mio caso dispongo di due probabilità che sono successo ed insuccesso, come le rapporto alle "unità di misura" che servono per definire una ipergeometrica?
"Bluff":
[quote="chisigma"]
\( P \{X_{n+1}=1|X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho) \)
\( P \{X_{n+1}=0|X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho) \) (1)
... dove \( 0 \le \rho< 1 \) tiene in qual modo conto della 'correlazione' tra \( X_{n+1} \) e \( X_{n} \)...
Ho seguito il tuo ragionamento, molto liscio, ma la domanda che mi sorge è che quindi estendendo alle mie n variabili avrei una cosa del genere:
\( P \{X_{1}=1|X_{2},...,X_{n}=1\} = 1 - q\ (1- \rho)^{n-1} \)
\( P \{X_{1}=0|X_{2},...,X_{n}=0\} = 1 - p\ (1- \rho)^{n-1} \)
e se anche fosse così, come le valuto tutte le altre probabilità miste?
[/quote]
Temo che la cosa non sia cosi' semplice. Nel caso [semplice] che ho proposto ciascuna $X_{n}$ e' correlata unicamente con la $X_{n-1}$ che la precede e tu in sostanza hai a che fare con quattro probabilita' distinte...
$P \{X_{n}=1|X_{n-1}=1\} = 1 - q\ (1- \rho)$
$P \{X_{n}=0|X_{n-1}=1\} = q\ (1- \rho)$
$P \{X_{n}=1|X_{n-1}=0\} = p\ (1- \rho)$
$P \{X_{n}=0|X_{n-1}=0\} = 1 - p\ (1- \rho)$
... che usualmente sono scritte sotto forma di matrice 2 x 2 nota come 'matrice delle transizioni'. Nel caso che, ad esempio, ogni $X_{n}$ sia correlata con le sole $X_{n-1}$ e $X_{n-2}$ con coeffcinti di correlazione $\rho_{1}$ e $\rho_{2}$ allora avresti a che fare con otto distinte probabilita' contenute in un 'ipermatrice' 2 x 2 x 2 e chiaramente la complessita' cresce di molto. Non so se sono stato chiaro...
cordiali saluti
chi sigma
Direi che sei stato molto chiaro.
Quindi nel caso di n variabili, ho $2^n$ probabilità distinte che saranno contenute in una qualche matrice impensabile per complessita da rappresentare. Allora si accantona il problema?
Quindi nel caso di n variabili, ho $2^n$ probabilità distinte che saranno contenute in una qualche matrice impensabile per complessita da rappresentare. Allora si accantona il problema?
Sarebbe utile conoscere i dettagli del contesto pratico [se cosi' e'...] in cui e' nata l'esigenza da te manifestata...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
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