Soluzione esercizio: errore del prof o sono io che non capisco?
Salve ragazzi avrei bisogno di una risposta riguardo ad un esercizio svolto dal mio professore. La traccia è la seguente:
Si lancia $N$ volte un dado equo a sei facce, numerate da 1 a 6, dove $N$ e una variabile aleatoria di Poisson di parametro $λ = 6/5$.
1) Determinare la probabilita di ottenere 6 almeno una volta.
2) Determinare la probabilita di ottenere 6 esattamente una volta.
3) Sapendo di non avere mai ottenuto 6, calcolare la probabilita che N sia pari a n, per ogni n ∈ N, e calcolarne il limite per n → ∞.
La soluzione svolta dal mio prof è la seguente. Riporto solo l'impostazione del procedimento e il risultato in quanto il presunto errore è proprio lì.
1)
Sia $E = $ "Esce un sei almeno una volta". Allora $P(E) = 1 - P(E^C)$. Calcolo:
$P(E^C) = \sum_{n=0}^infty P(E^C | N = n) xx P(N = n) = \sum_{n=0}^infty [(5/6)^n xx e^(-6/5) xx 6^n/5^n xx 1/(n!)] = e^(-1/5)$
Quindi $P(E) = 1 - e ^(-1/5)$
2) Sia $F = $ "esce 6 esattamente una volta". Allora:
$P(F) = \sum_{n=1}^infty P(F | N = n) xx P(N = n) = \sum_{n=1}^infty [(n!)/(1!(n-1)!) xx 1/6 xx (5/6)^(n-1) xx 6^n/5^n xx (1)/(n!)] = e/5$
3) Calcolo $ P(N = n | E^C) = (P(E^C | N = n) xx P(N = n))/(P(E^C)) = ((5/6)^n xx (6/5)^n xx 1/(n!))/(e^(-1/5)) = 0$
Quello che non capisco è:
Nell'esercizio 1) si ha che
$ P(E^C | N = n) = [(5/6)^n]$ mentre $P(N = n) = [e^(-6/5) xx 6^n/5^n xx 1/(n!)]$.
Mentre nell'esercizio 2) si ha che
$P(F | N = n) = [(n!)/(1!(n-1)!) xx 1/6 xx (5/6)^(n-1)]$ che corrisponde ad una binomiale di parametri $(n, 1/6)$ e $P(N = n) = [6^n/5^n xx (1)/(n!)]$.
Ma dunque perchè nell'esercizio 2 a P(N = n) manca $e^(-6/5)$ ??? Questa stessa cosa è ripetuta nell'esercizio 3.
Grazie in anticipo.
Si lancia $N$ volte un dado equo a sei facce, numerate da 1 a 6, dove $N$ e una variabile aleatoria di Poisson di parametro $λ = 6/5$.
1) Determinare la probabilita di ottenere 6 almeno una volta.
2) Determinare la probabilita di ottenere 6 esattamente una volta.
3) Sapendo di non avere mai ottenuto 6, calcolare la probabilita che N sia pari a n, per ogni n ∈ N, e calcolarne il limite per n → ∞.
La soluzione svolta dal mio prof è la seguente. Riporto solo l'impostazione del procedimento e il risultato in quanto il presunto errore è proprio lì.
1)
Sia $E = $ "Esce un sei almeno una volta". Allora $P(E) = 1 - P(E^C)$. Calcolo:
$P(E^C) = \sum_{n=0}^infty P(E^C | N = n) xx P(N = n) = \sum_{n=0}^infty [(5/6)^n xx e^(-6/5) xx 6^n/5^n xx 1/(n!)] = e^(-1/5)$
Quindi $P(E) = 1 - e ^(-1/5)$
2) Sia $F = $ "esce 6 esattamente una volta". Allora:
$P(F) = \sum_{n=1}^infty P(F | N = n) xx P(N = n) = \sum_{n=1}^infty [(n!)/(1!(n-1)!) xx 1/6 xx (5/6)^(n-1) xx 6^n/5^n xx (1)/(n!)] = e/5$
3) Calcolo $ P(N = n | E^C) = (P(E^C | N = n) xx P(N = n))/(P(E^C)) = ((5/6)^n xx (6/5)^n xx 1/(n!))/(e^(-1/5)) = 0$
Quello che non capisco è:
Nell'esercizio 1) si ha che
$ P(E^C | N = n) = [(5/6)^n]$ mentre $P(N = n) = [e^(-6/5) xx 6^n/5^n xx 1/(n!)]$.
Mentre nell'esercizio 2) si ha che
$P(F | N = n) = [(n!)/(1!(n-1)!) xx 1/6 xx (5/6)^(n-1)]$ che corrisponde ad una binomiale di parametri $(n, 1/6)$ e $P(N = n) = [6^n/5^n xx (1)/(n!)]$.
Ma dunque perchè nell'esercizio 2 a P(N = n) manca $e^(-6/5)$ ??? Questa stessa cosa è ripetuta nell'esercizio 3.
Grazie in anticipo.
Risposte
1) giusto
2) e 3) sbagliati
Nel 2) oltre all'errore che hai trovato tu c'è anche questo
$P(X=1)=\sum_{n=1}^{oo}(e^(-6/5)(6/5)^n)/(n!)((n),(1))(1/6)(5/6)^(n-1)=...=1/5 e^(-1/5)$
quella somma che parte da zero non si può proprio vedere....come farebbe a valutare $(n-1)!$
Facendola partire da 1 invece le cose tornano in quanto hai
$P(X=1)=1/6\cdot6/5\cdot e^(-6/5)\sum_{k=0}^{oo}1^k/(k!)=1/5 e^(-6/5) e=1/5e^(-1/5)$
2) e 3) sbagliati
Nel 2) oltre all'errore che hai trovato tu c'è anche questo
$P(X=1)=\sum_{n=1}^{oo}(e^(-6/5)(6/5)^n)/(n!)((n),(1))(1/6)(5/6)^(n-1)=...=1/5 e^(-1/5)$
quella somma che parte da zero non si può proprio vedere....come farebbe a valutare $(n-1)!$
Facendola partire da 1 invece le cose tornano in quanto hai
$P(X=1)=1/6\cdot6/5\cdot e^(-6/5)\sum_{k=0}^{oo}1^k/(k!)=1/5 e^(-6/5) e=1/5e^(-1/5)$
"tommik":
1) giusto
2) e 3) sbagliati
Nel 2) oltre all'errore che hai trovato tu c'è anche questo
$P(X=1)=\sum_{n=1}^{oo}(e^(-6/5)(6/5)^n)/(n!)((n),(1))(1/6)(5/6)^(n-1)=...=1/5 e^(-1/5)$
quella somma che parte da zero non si può proprio vedere....come farebbe a valutare $(n-1)!$
Si scusami al punto 2) ho copiato male io.. il prof è partito da 1 e non da zero.
ho modificato l'errore di copiatura.
comunque mi spiace dirlo, ma questo "prof" non è solo distratto ma anche poco preparato. Infatti, anche senza fare conti, chiunque abbia una certa infarinatura di Statistica (io faccio il contabile, non sono un insegnante) capirebbe subito che quella distribuzione è una poisson di parametro $1/6\cdot6/5=1/5$ e dunque[nota]puoi anche dimostrarlo, non è difficile[/nota]
$P(X=1)=e^{-1/5}\cdot 1/5$
e quindi, anche se avesse dimenticato nella penna $e^(-6/5)$ non può uscire con un risultato di $e/5$
Aggiungi anche il post precedente dove ha messo soluzione 0 invece di 0.1 (lì inizialmente anche io c'ero cascato però...)
...
$P(X=1)=e^{-1/5}\cdot 1/5$
e quindi, anche se avesse dimenticato nella penna $e^(-6/5)$ non può uscire con un risultato di $e/5$
Aggiungi anche il post precedente dove ha messo soluzione 0 invece di 0.1 (lì inizialmente anche io c'ero cascato però...)
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"tommik":
comunque mi spiace dirlo, ma questo "prof" non è solo distratto ma anche poco preparato. Infatti, anche senza fare conti, chiunque abbia una certa infarinatura di Statistica (io faccio il contabile, non sono un insegnante) capirebbe subito che quella distribuzione è una poisson di parametro $1/6\cdot6/5=1/5$ e dunque[nota]puoi anche dimostrarlo, non è difficile[/nota]
$P(X=1)=e^{-1/5}\cdot 1/5$
e quindi, anche se avesse dimenticato nella penna $e^(-6/5)$ non può uscire con un risultato di $e/5$
Aggiungi anche il post precedente dove ha messo soluzione 0 invece di 0.1 (lì anche io c'ero cascato però...)
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Guarda hai aperto un tasto dolente. Questo professore è di gran lunga il peggiore mai incontrato nella mia carriera. Spiegazioni di livello penoso (nessuno ha mai capito una lezione, nemmeno quelle introduttive), le dispense che ci ha dato sono delle foto fatte dal cellulare con scarsa luminosità, le sue soluzioni sono piene di errori e potrei continuare. Come risultato la percentuale di successo dei suoi esami è molto bassa e crea un effetto tappo. Ti lascio immaginare come sto passando l'estate.
"s.capone7":
3) Calcolo $ P(N = n | E^C) = (P(E^C | N = n) xx P(N = n))/(P(E^C)) = ((5/6)^n xx (6/5)^n xx 1/(n!))/(e^(-1/5)) = 0$
Quello che scrivi non è uguale a 0. Il suo limite ecc. ecc. magari sì.
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