Soluzione di un problema "semplice " si probabilit

[sil171]

sono fermo sulla soluzione del seguente esercizio. spero proprio mi riusciate a dare una mano.
testo dell'esercizio:un'urna contiene 3 palline rosse e 7 nere.Due giocatori A e B, estraggono uno alla volta una pallina dall'urna fino a che non viene estratta la prima pallina rossa. Si determini la probabilità che A estragga la pallina rossa (A estrare la prima pallina, B estrae la seconda, A estrae la terza e così di seguito. le estrazioni vengono fatte senza reinserimento)

[cenzo1]

Proponi un tentativo di soluzione. Dove incontri difficoltà ?

[sil171]

allora...sono arrivata a vedere che la probabilità che alla prima estrazione sia A a prendere la pallina rossa è 3/10, ma nel caso in cui vengano pescate due palline nere (la prima da A la seconda da B) come imposto la probabilità che A prenda la rossa in uno dei suoi successivi lanci???e che quindi la prenda prima di B???
ho provato a impostarlo così:
sia E =[l'evento che A peschi la prima pallina rossa] <--- questo può accadere solo se la prima pallina rossa viene estratta in un'estrazione dispari, allora chiamo X=estrazione con la prima pallina rossa.
P(E)=P(X=1)+P(X=3)+P(X=5)+P(X=7)=3/10+(7/10*6/9*3/8)+(7/10*6/9*5/8*4/7*3/6)+(7/10*6/9*5/8*4/7*3/6*2/5*3/4)
arrivo alla settima estrazione in quanto le palline nere sono 7 e quindi la prima pallina nere non può essere estretta dopo l'ottava estrazione!
ragionando in questo modo però il risultato non è quello indicato dal libro...

[risultato: 0,5833]

[cenzo1]

Mi sembra tutto corretto e mi torna il $7/12=0.58bar3$ del libro. Controlla i calcoli.