Solo probabilità
1) Siano $X$, $Y$ variabili aleatorie indipendenti uniformi in (0,1). Determinare:
a) la probabilità che l'equazione (in $t$) $t^2+2Xt+Y=0$ abbia radici reali;
b) $P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)$.
2) Tra i numeri 1, 2, ..., 56350 se ne sceglie uno a caso; qual è la probabilità che sia divisore di 56350?
3) Scegliendo a caso un numero naturale di sei cifre significative in base 10 avente tre cifre pari e tre cifre dispari, qual è la probabilità che presenti le cifre in ordine crescente?
4) Quattro persone, Primo e Secondo contro Terzo e Quarto, giocano a briscola con un mazzo di 40 carte. All'inizio del gioco si scopre una carta che determina il seme di briscola e poi si danno a ciascuno tre carte.
Sotto le usuali ipotesi di equiprobabilità e di indipendenza, determinare la probabilità che almeno uno dei quattro giocatori abbia tre briscole.
5) Calcolare la probabilità che in $n$ lanci di una moneta equa non ci siano due teste consecutive.
a) la probabilità che l'equazione (in $t$) $t^2+2Xt+Y=0$ abbia radici reali;
b) $P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)$.
2) Tra i numeri 1, 2, ..., 56350 se ne sceglie uno a caso; qual è la probabilità che sia divisore di 56350?
3) Scegliendo a caso un numero naturale di sei cifre significative in base 10 avente tre cifre pari e tre cifre dispari, qual è la probabilità che presenti le cifre in ordine crescente?
4) Quattro persone, Primo e Secondo contro Terzo e Quarto, giocano a briscola con un mazzo di 40 carte. All'inizio del gioco si scopre una carta che determina il seme di briscola e poi si danno a ciascuno tre carte.
Sotto le usuali ipotesi di equiprobabilità e di indipendenza, determinare la probabilità che almeno uno dei quattro giocatori abbia tre briscole.
5) Calcolare la probabilità che in $n$ lanci di una moneta equa non ci siano due teste consecutive.
Risposte
1a)
$X,Y~U[0,1]$ iid
l'equazione ha radici reali quando $X^2>=Y$, e allora:
$P[X^2>=Y]=int_0^1 P[X^2>=y|Y=y]f_Y(y)dy=int_0^1 P[X>=sqrt(y)|Y=y]dy=int_0^1 (int_(sqrt(y))^1 dx)dy=(...)=1/3$
$X,Y~U[0,1]$ iid
l'equazione ha radici reali quando $X^2>=Y$, e allora:
$P[X^2>=Y]=int_0^1 P[X^2>=y|Y=y]f_Y(y)dy=int_0^1 P[X>=sqrt(y)|Y=y]dy=int_0^1 (int_(sqrt(y))^1 dx)dy=(...)=1/3$
"Piera":
2) Tra i numeri 1, 2, ..., 56350 se ne sceglie uno a caso; qual è la probabilità che sia divisore di 56350?
Io odio il calcolo delle probabilità!
Fattorizzazione: $56350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 23$. Numero dei divisori interi positivi: $\sigma_0(56350) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 36$. Probabilità come rapporto fra il numero totale dei casi favorevoli e il numero totale dei casi possibili: $36/56350$.
Per la 5) potrebbe andare $1-\frac{(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+(1)}{2^n}$?
"Tipper":
Per la 5) potrebbe andare $1-\frac{(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+(1)}{2^n}$?
Secondo me non va in quanto per $n->oo$ la probabilità deve tendere a 0 e non a 1.
1b)
$Z=max(X,Y)$, $W=min(X,Y)$
$F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z)=z^2$, ne segue che $f_Z(z)=2z$, $0<=z<=1$
$1-F_W(w)=(1-F_X(w))(1-F_Y(w))=(1-w)^2$, $0<=w<=1$
La prob cercata è
$P[W>=Z/3]=int_0^1 P[W>=z/3|Z=z]f_Z(z)dz=int_0^1 (1-F_W(z/3))f_Z(z)dz=int_0^1 (1-z/3)^2*2zdz=(...)=11/18$
P.S. P["Il mio svolgimento del 1b è esatto"]=1/2
$Z=max(X,Y)$, $W=min(X,Y)$
$F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z)=z^2$, ne segue che $f_Z(z)=2z$, $0<=z<=1$
$1-F_W(w)=(1-F_X(w))(1-F_Y(w))=(1-w)^2$, $0<=w<=1$
La prob cercata è
$P[W>=Z/3]=int_0^1 P[W>=z/3|Z=z]f_Z(z)dz=int_0^1 (1-F_W(z/3))f_Z(z)dz=int_0^1 (1-z/3)^2*2zdz=(...)=11/18$
P.S. P["Il mio svolgimento del 1b è esatto"]=1/2
1a) e 2) ok
1b) Credo che ci sia qualcosa che non quadra, a me viene $2/3$.
5) Non va...
Questo quesito ha a che fare con i numeri di Fibonacci, che ultimamente vanno di moda sul forum.
1b) Credo che ci sia qualcosa che non quadra, a me viene $2/3$.
5) Non va...
Questo quesito ha a che fare con i numeri di Fibonacci, che ultimamente vanno di moda sul forum.
1b) L'errore dovrebbe essere qui:
$P(W>=Z/3|Z=z) ne P(W>=z/3)$ in quanto le due variabili $W$ e $Z$ non sono indipendenti, entrambe dipendono da $X$ e $Y$. Ti torna?
Il mio procedimento è questo:
$P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)=P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3, Y=X)=P(X/Y<=3, y=X)=2/3$.
$P(W>=Z/3|Z=z) ne P(W>=z/3)$ in quanto le due variabili $W$ e $Z$ non sono indipendenti, entrambe dipendono da $X$ e $Y$. Ti torna?
Il mio procedimento è questo:
$P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)=P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3, Y
Infatti anche a me non tornava quel risultato, per questo ho messo quel P.S., ho postato giusto per vedere cosa mi era sfuggito
(5) Ho ragionato così...
Indichiamo con $a_n$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive.
Poi indichiamo con $a_{n,0}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con croce.
Infine indichiamo con $a_{n,1}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con testa.
Ora possiamo scrivere: $a_n=a_{n,0}+a_{n,1}$. Essendo $a_{n,0}=a_{n-1}$, si ha: $a_{n,1}=a_{n-1,0}+a_{n-2} rarr a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, cioè la successione di Fibonacci. Come soluzione in forma esplicita abbiamo la formula di Binet: $fib(n)=(1/sqrt(5))*(phi^n-(1-phi)^n)$, dove $phi=(1+sqrt(5))/2$. Quindi la probabilità cercata è espressa da: $P(X=n)=(fib(n))/(2^n)$.
Saluti, Ermanno.
Indichiamo con $a_n$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive.
Poi indichiamo con $a_{n,0}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con croce.
Infine indichiamo con $a_{n,1}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con testa.
Ora possiamo scrivere: $a_n=a_{n,0}+a_{n,1}$. Essendo $a_{n,0}=a_{n-1}$, si ha: $a_{n,1}=a_{n-1,0}+a_{n-2} rarr a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, cioè la successione di Fibonacci. Come soluzione in forma esplicita abbiamo la formula di Binet: $fib(n)=(1/sqrt(5))*(phi^n-(1-phi)^n)$, dove $phi=(1+sqrt(5))/2$. Quindi la probabilità cercata è espressa da: $P(X=n)=(fib(n))/(2^n)$.
Saluti, Ermanno.
Perdonatemi... da dove viene questa formula per trovare i divisori di un numero?
Numero dei divisori interi positivi: σ0(56350)=2⋅3⋅3⋅2=36
"+Steven+":
Perdonatemi... da dove viene questa formula per trovare i divisori di un numero?
Numero dei divisori interi positivi: σ0(56350)=2⋅3⋅3⋅2=36
$sigma_n$ rappresenta la somma della k-esima potenza dei divisori positivi di n, con k intero non negativo. $sigma_0$ rappresenta il numero dei divisori interi positivi di n, essendo $k=0$.
"+Steven+":
Perdonatemi... da dove viene questa formula per trovare i divisori di un numero?
Numero dei divisori interi positivi: σ0(56350)=2⋅3⋅3⋅2=36
Essendo $k \in RR$, poni $\sigma_k(n) = \sum_{d | n} d^k$, per ogni intero $n \ge 1$, dove la sommatoria (che si dice di Dirichlet) s'intende estesa a tutti e soli i divisori interi positivi di $n$. Si prova che $\sigma_k(\cdot)$ è una funzione moltiplicativa. Del resto, $\sigma_k(p^n) = \sum_{i=0}^n p^{ik}$, se $p$ è un primo naturale ed $n \ge 0$ un intero. Ponici k = 0 e avrai la risposta che cerchi.
NOTA: in generale, una funzione $f: NN^+ \to CC$ si dice moltiplicativa se $f(ab) = f(a) f(b)$, per ogni $a, b \in NN^+$ tali che $gcd(a,b) = 1$.
Vi ringrazio a entrambi, bellanotte.
5) C'è qualcosa che non va nel procedimento di Ermanno, perchè la probabilità è $(fib(n+2))/2^n$.
Ecco la soluzione di questo classico problema:
per risolvere il problema è necessario contare il numero di sequenze di 0 e 1 che non hanno due 1 consecutivi (0 sta per croce, 1 per testa).
A tale scopo consideriamo $n-k$ cifre 0 scritte di seguito e poi collochiamo $k$ cifre 1 in modo che due di esse non siano adiacenti. Ci sono $n-k+1$ posti per sistemare le $k$ cifre unità e ciò può essere fatto in $((n-k+1),(k))$ modi.
Per intenderci, supponiamo di effettuare $n=5$ lanci e di considerare $k=2$ 1 e $n-k=3$ 0. Un modo per non scrivere due 1 consecutivi è il seguente:
scriviamo i tre 0 in fila: 000,
gli 1 possono essere sistemati in 4 posti :
1 000
01 00
001 0
0001
e visto che dobbiamo sistemare due 1, questo può essere fatto in $((4),(2))=6$ modi (ad esempio $1 0010, oppure 001 01 e cosi' via...).
Torniamo al caso generale.
Facendo variare $k$ vediamo che il numero di sequenze di 0 e 1 senza due 1 consecutivi è
$sum_(k>=0)((n-k+1),(k))$.
La probabilità è pertanto $p_n=sum_(k>=0)(((n-k+1),(k)))/2^n$.
Ci potremmo fermare qui, però, se si ricorda che i numeri di Fibonacci possono essere definiti nel seguente modo $fib(n)=sum_(k>=0)((n-k-1),(k))$, si ottiene $fib(n+2)=sum_(k>=0)((n-k+1),(k))$ e quindi
$p_n=(fib(n+2))/2^n=[(1+sqrt5)^(n+2)-(1-sqrt5)^(n+2)]/(2^(2n+2)sqrt5)$.
P.S. Gli esercizi che sono rimasti, 3) e 4), non sono cosi' difficili!
Invito qualcuno a provarci!
Ecco la soluzione di questo classico problema:
per risolvere il problema è necessario contare il numero di sequenze di 0 e 1 che non hanno due 1 consecutivi (0 sta per croce, 1 per testa).
A tale scopo consideriamo $n-k$ cifre 0 scritte di seguito e poi collochiamo $k$ cifre 1 in modo che due di esse non siano adiacenti. Ci sono $n-k+1$ posti per sistemare le $k$ cifre unità e ciò può essere fatto in $((n-k+1),(k))$ modi.
Per intenderci, supponiamo di effettuare $n=5$ lanci e di considerare $k=2$ 1 e $n-k=3$ 0. Un modo per non scrivere due 1 consecutivi è il seguente:
scriviamo i tre 0 in fila: 000,
gli 1 possono essere sistemati in 4 posti :
1 000
01 00
001 0
0001
e visto che dobbiamo sistemare due 1, questo può essere fatto in $((4),(2))=6$ modi (ad esempio $1 0010, oppure 001 01 e cosi' via...).
Torniamo al caso generale.
Facendo variare $k$ vediamo che il numero di sequenze di 0 e 1 senza due 1 consecutivi è
$sum_(k>=0)((n-k+1),(k))$.
La probabilità è pertanto $p_n=sum_(k>=0)(((n-k+1),(k)))/2^n$.
Ci potremmo fermare qui, però, se si ricorda che i numeri di Fibonacci possono essere definiti nel seguente modo $fib(n)=sum_(k>=0)((n-k-1),(k))$, si ottiene $fib(n+2)=sum_(k>=0)((n-k+1),(k))$ e quindi
$p_n=(fib(n+2))/2^n=[(1+sqrt5)^(n+2)-(1-sqrt5)^(n+2)]/(2^(2n+2)sqrt5)$.
P.S. Gli esercizi che sono rimasti, 3) e 4), non sono cosi' difficili!
Invito qualcuno a provarci!
"Piera":
5) C'è qualcosa che non va nel procedimento di Ermanno, perchè la probabilità è $(fib(n+2))/2^n$.
Hai perfettamente ragione! Purtroppo ho pensato una cosa e scritto un'altra!
Allora cerco di rimediare:
Parto dalla relazione $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, con condizioni iniziali $a_1=2$ e $a_2=3$, abbiamo come soluzione in forma esplicita: $((sqrt(5)+2)*(phi)^(n-1)+(sqrt(5)-2)*(1-phi)^(n-1))/sqrt(5)$....
Ora va meglio...credo!
Saluti, Ermanno.
Va bene, con quelle condizioni iniziali il risultato è giusto.
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