Sistema stand-by
Buonasera,
Voglio proporre questo esercizio:
Studiando dal libro ho constatato che i sistemi stand-by si distribuiscono come una variabile casuale Gamma che per $ \alfa = 1$ a sua volta si distribuisce come una v.c. esponenziale.
Ponendo X come la v.c. le ore entro il quale l'affidabilità raggiunge una certa "misura" (se l'ho spiegato coi piedi, me ne scuso), ho posto: $ P(X \leq K) = 0.95 $ .
Poichè la distr. esponenziale ha formula: 1 - e^ $ \- \lamba $*X] e il nostro lambda è uguale a 10, ho posto l'equazione 1 - e^-10K = 0.95 da cui ho trovato il valore K=0.2995.
Per il secondo punto, ho calcolato la funzione di affidabilità \(\displaystyle R(x) = e^- \lambda *X \) sostituendo a lamba 10 e ad X 40 venendo ovviamente un numero praticamente uguale a 0.
E giusto?
Voglio proporre questo esercizio:
Studiando dal libro ho constatato che i sistemi stand-by si distribuiscono come una variabile casuale Gamma che per $ \alfa = 1$ a sua volta si distribuisce come una v.c. esponenziale.
Ponendo X come la v.c. le ore entro il quale l'affidabilità raggiunge una certa "misura" (se l'ho spiegato coi piedi, me ne scuso), ho posto: $ P(X \leq K) = 0.95 $ .
Poichè la distr. esponenziale ha formula: 1 - e^ $ \- \lamba $*X] e il nostro lambda è uguale a 10, ho posto l'equazione 1 - e^-10K = 0.95 da cui ho trovato il valore K=0.2995.
Per il secondo punto, ho calcolato la funzione di affidabilità \(\displaystyle R(x) = e^- \lambda *X \) sostituendo a lamba 10 e ad X 40 venendo ovviamente un numero praticamente uguale a 0.
E giusto?
Risposte
"Mandolino":
....venendo ovviamente un numero praticamente uguale a 0.
E giusto?
Secondo te? 4 lampade collegate in ausiliario, ognuna con durata media di 10 ore e il sistema ha un'affidabilità al 95% pari a zero.....cioè non sei sicuro nemmeno che il sistema rimanga illuminato per un nanosecondo?
È vero che la $Gamma (1,theta) $ è un"esponenziale ma qui $alpha=4$
Essendo le lampade collegate in ausiliario, la durata del sistema è pari alla somma delle durate .
Sotto ipotesi di indipendenza, la somma delle 4 esponenziali è una $Gamma (4,1/10) $
Una volta nota la distribuzione i quesiti richiesti sono di facile soluzione. Ovviamente devi usare la distribuzione gamma: $f (x,alpha, theta)=theta^alpha/(Gamma (alpha))x ^(alpha-1)e^(-theta x)$ dove $alpha=4$ e $theta =1/10$
Per la soluzione puoi tranquillamente usare le tavole.
Ecco come risolvere il primo punto
Ipotizziamo che la densità della singola lampada sia un'esponenziale negativa di media 10 (cosa molto ragionevole):
$f_X(x)=1/10e^(-x/10)$
Ipotizziamo inoltre che la durata delle singole lampade siano indipendenti (altrettanto ragionevole). Allora:
$Y=sum_(i=1)^(4)X_i rarr f_(Y)(y)=1/(6*10^4)y^3e^(-y/10)=Gamma(4;1/10)$
Calcolare l'istante fino a che l'affidabilità si mantiene sopra il 95% significa calcolare
$P(Y>y)>=0.95 rarr P(chi_((8))^2>y/5)>=0.95$
dalle tavole della $chi^2$ con 8 gdl
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
trovi $y/5<=2.73$ e quindi $y<=13.66$ ore ovvero 13 ore e 40 minuti
Ora puoi proseguire tu con il secondo...
Ps: già a quest'altro topic non hai più risposto; ora vorrei capire una cosa: hai compreso ciò che ho fatto oppure no? in caso negativo ovviamente eviterò di perdere tempo in futuro, perché io queste cose già le so.....fammi sapere
"tommik":
ma qui $alpha=4$
Mi mancava questo punto.
Per quanto riguarda la questione dell'altro topic: sì, avevo compreso la risoluzione ma se non vuoi rispondere ai miei dubbi salvandomi dall'atroce compito di dover studiare (da solo e con un libro a dir poco incomprensibile) questa materia me ne farò una ragione, anche perchè quando posto un problema su questo forum lo faccio in modo tale da raggiungere un numero di utenti potenzialmente infinito di utenti che possano risolvere i miei dubbi... D'altronde questo è il bello dell'internet, o no?
In ogni caso ti auguro una buona giornata Tommik
a quali dubbi non ho risposto? Che libro "incomprensibile" usi? Di testi ben fatti ce ne sono molti....
"tommik":
in caso negativo ovviamente eviterò di perdere tempo in futuro, perché io queste cose già le so.....fammi sapere
Mi riferivo a questo.
Per il libro, usiamo quello del mio professore, Alberto Lombardo
forse mi hai frainteso....intendevo dire che non vorrei perdere tempo scrivendo "al vento"; se non replichi alle mie risposte non so se hai capito, non hai capito, non ti interessa la soluzione postata ecc ecc
Se il libro del prof non ti piace puoi prendere tranquillamente uno di questi
- Mood Graybill Boes, introduzione alla Statistica (McGrawHill)
- Sheldon Ross, Probabilità e Statistica per l'ingegneria e le Scienze
che sono fatti benissimo
Se il libro del prof non ti piace puoi prendere tranquillamente uno di questi
- Mood Graybill Boes, introduzione alla Statistica (McGrawHill)
- Sheldon Ross, Probabilità e Statistica per l'ingegneria e le Scienze
che sono fatti benissimo
Grazie mille, lo terrò a mente 
Una cosa non ho capito: qual è il passaggio che fai qui? (non capisco il fratto 5...)
Una cosa non ho capito: qual è il passaggio che fai qui? (non capisco il fratto 5...)
"tommik":
P(Y>y)≥0.95→P(χ2(8)>y5)≥0.95
E' la standardizzazione della variabile $Gamma(n,theta)$
dato che per calcolare l'integrale della gamma può essere complicato, osservo che la $chi_((n))^2=Gamma(n/2;1/2)$
Ora, ricordando le regole di trasfomazione di variabile,
se $X~ Gamma(n,theta) rarr 2thetaX~Gamma(n,1/2)=Gamma((2n)/2,1/2)=chi_((2n))^2$
Così posso evitare di risolvere l'integrale e utilizzare semplicemente le tavole della $chi^2$ con $4 xx 2=8$ gdl.
In alternativa avrei dovuto risolvere
$int_(y)^(+oo)1/(6*10^4)t^3e^(-t/10)dt>=0.95$
L'integrale in questione lo si può fare solo per parti 3 volte, ma una volta risolto mi troverei di fronte a questa disequazione
$(e^(-y/10)[y^3+30y^2+600y+6000])/6000 >=0.95$
verificata per $y<=13.66$ ma piuttosto complicata e che puoi risolvere solo con metodi numerici...insomma un bel casino
dato che per calcolare l'integrale della gamma può essere complicato, osservo che la $chi_((n))^2=Gamma(n/2;1/2)$
Ora, ricordando le regole di trasfomazione di variabile,
se $X~ Gamma(n,theta) rarr 2thetaX~Gamma(n,1/2)=Gamma((2n)/2,1/2)=chi_((2n))^2$
Così posso evitare di risolvere l'integrale e utilizzare semplicemente le tavole della $chi^2$ con $4 xx 2=8$ gdl.
In alternativa avrei dovuto risolvere
$int_(y)^(+oo)1/(6*10^4)t^3e^(-t/10)dt>=0.95$
L'integrale in questione lo si può fare solo per parti 3 volte, ma una volta risolto mi troverei di fronte a questa disequazione
$(e^(-y/10)[y^3+30y^2+600y+6000])/6000 >=0.95$
verificata per $y<=13.66$ ma piuttosto complicata e che puoi risolvere solo con metodi numerici...insomma un bel casino
Perfetto, grazie mille
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