Significato intuitivo del teorema di De Moivre - Laplace su distribuzione binomiale?
Salve gente, scrivo su questo forum perché sto avendo dei dubbi sul teorema del titolo.
Enunciato: Sia $S_n$ il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, e sia $p \in ( 0, 1)$ la probabilità di successo in una prova, presa questa singolarmente. Allora:
$\forall a,b\in \mathbb{R} \text{ | } a < b \text{ } \lim_{n\to\infty} P( a < \frac{ S_n - np }{\sqrt{np(1-p)} } < b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $
Questo è quello che trovo nei miei poverissimi appunti. Non riesco a capire cosa vorrebbe significare, e mi piacerebbe esporlo a parole, più o meno seguendo un "template" di questo tipo:
Enunciato: Sia $S_n$ il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, e sia $p \in ( 0, 1)$ la probabilità di successo in una prova, presa questa singolarmente. Allora la probabilità che ( ... ) cada nell'intervallo $(a,b) \text { | } a < b$ tende a $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $ al tendere del numero di prove $n$ all'infinito.
Se volessi fare una cosa del genere, cosa dovrei scriverci al posto dei punti di sospensione? In buona sostanza non riesco ad interpretare cosa stia a significare il rapporto. Tenete conto che questo teorema viene enunciato prima dei concetti di varianza, valore atteso, normale gaussiana e variabile aleatoria per cui non avendo ancora conoscenze alcune su questi andrebbero esclusi.
Grazie per il vostro tempo.
Enunciato: Sia $S_n$ il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, e sia $p \in ( 0, 1)$ la probabilità di successo in una prova, presa questa singolarmente. Allora:
$\forall a,b\in \mathbb{R} \text{ | } a < b \text{ } \lim_{n\to\infty} P( a < \frac{ S_n - np }{\sqrt{np(1-p)} } < b) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $
Questo è quello che trovo nei miei poverissimi appunti. Non riesco a capire cosa vorrebbe significare, e mi piacerebbe esporlo a parole, più o meno seguendo un "template" di questo tipo:
Enunciato: Sia $S_n$ il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli, e sia $p \in ( 0, 1)$ la probabilità di successo in una prova, presa questa singolarmente. Allora la probabilità che ( ... ) cada nell'intervallo $(a,b) \text { | } a < b$ tende a $ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{a}^{b}e^{-\frac{t^2}{2}}dt $ al tendere del numero di prove $n$ all'infinito.
Se volessi fare una cosa del genere, cosa dovrei scriverci al posto dei punti di sospensione? In buona sostanza non riesco ad interpretare cosa stia a significare il rapporto. Tenete conto che questo teorema viene enunciato prima dei concetti di varianza, valore atteso, normale gaussiana e variabile aleatoria per cui non avendo ancora conoscenze alcune su questi andrebbero esclusi.
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
"Moralizzatore":
tenete conto che questo teorema viene enunciato prima dei concetti di varianza, valore atteso, normale gaussiana e variabile aleatoria
beh questo sì che è strano....il TLC è una convergenza in legge di una particolare funzione di una successione di variabili aleatorie....una volta capito il TLC, Il teorema di De Moivre Laplace è la stessa cosa applicata ad una sequenza di bernulliane indipendenti
...ma che studi fai scusa?
Io di libri di statistica in quasi 30 anni dalla laurea ne ho visti parecchi.....e non ho mai trovato il TLC enunciato prima di aver detto cosa sia una variabile casuale.....
Eh... sul mio libro di statistica non c'è questo risultato, lo trovo nei miei appunti presi a lezione (Ingegneria informatica, corso di Analisi II). Inoltre il teorema del limite centrale non lo affrontiamo nel corso, per cui strano x2.
vuol dire che dà tali concetti per scontati. Se ti sono familiari i vari tipi di convergenza puoi usare quelli, altrimenti con un buon libro base di statistica trovi tutto, di solito anche una parziale dimostrazione (con la funzione caratteristica della gaussiana)
Puoi anche consultare il forum dove ci sono centinaia di esercizi svolti su tale tema che ti chiariranno sicuramente le idee.
Puoi anche consultare il forum dove ci sono centinaia di esercizi svolti su tale tema che ti chiariranno sicuramente le idee.
In poche parole devo rinunciare a capire? Questa cosa mi fa abbastanza paura...
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