Significato concettuale di media e varianza
Buongiorno
Mi spiegate concettualmente cosa rappresentano media e varianza di una v.a?
So che la media è il baricentro e non è il valore più probabile, ma non riesco a capirne a fondo il significato ( so la formula sia nel caso Co tinuo che discreto) ;stessa cosa per la varianza
Mi spiegate concettualmente cosa rappresentano media e varianza di una v.a?
So che la media è il baricentro e non è il valore più probabile, ma non riesco a capirne a fondo il significato ( so la formula sia nel caso Co tinuo che discreto) ;stessa cosa per la varianza
Risposte
Buongiorno
Comunque per quanto riguarda la media il dubbio che ho è se le seguenti 2 frasi sono in contrasto o vanno bene insieme :
1 riassuma in un solo numero l'informazione relativa al valore intorno al quale crediamo che si realizzerà la variabile casuale.
2 valore atteso non corrisponde, in generale al valore più probabile
Comunque per quanto riguarda la media il dubbio che ho è se le seguenti 2 frasi sono in contrasto o vanno bene insieme :
1 riassuma in un solo numero l'informazione relativa al valore intorno al quale crediamo che si realizzerà la variabile casuale.
2 valore atteso non corrisponde, in generale al valore più probabile
"carlo96":
Mi trovo con Wikipedia( valore atteso), Ma non con la tua affermazione che valore atteso e media aritmetica sono la stessa cosa
http://progettomatematica.dm.unibo.it/P ... ndici.html
"Il valore atteso, che viene chiamato anche media o speranza matematica della distribuzione di una variabile casuale"
https://people.dm.unipi.it/trevisan/did ... R3.nb.html
"il suo valore atteso è definito dalla formula ... il comando ``mean()’’ (che calcola la media aritmetica dei valori di un vettore) è sufficiente"
http://www.ce.unipr.it/~medici/geometry/node35.html
"Il valor medio atteso (expectation, mean) di una variabile casuale $X$"
https://www.dmi.units.it/_borelli/excel/%21%2106.html
" il valore atteso (detto anche valor medio o speranza matematica)"
Parlami ancora della "mia" affermazione.
"carlo96":
Buongiorno
Comunque per quanto riguarda la media il dubbio che ho è se le seguenti 2 frasi sono in contrasto o vanno bene insieme :
1 riassuma in un solo numero l'informazione relativa al valore intorno al quale crediamo che si realizzerà la variabile casuale.
2 valore atteso non corrisponde, in generale al valore più probabile
La frase 1 non mi sembra vera. Se ho una cosa che vale 0 con probabilità 0,5 e 200 miliardi con probabilità 0,5, la media è 100 miliardi. Non credo che la variabile sia "intorno a 100 miliardi". Ma dovendo riassumere questa variabile con un solo valore, cosa fai?
La frase 2 è vera. La media non è necessariamente il valore più probabile. Può anche essere un valore impossibile. Come 100 miliardi sopra.
La media può anche essere infinita o non esistere.
"ghira":
[quote="carlo96"]
Mi trovo con Wikipedia( valore atteso), Ma non con la tua affermazione che valore atteso e media aritmetica sono la stessa cosa
http://progettomatematica.dm.unibo.it/P ... ndici.html
"Il valore atteso, che viene chiamato anche media o speranza matematica della distribuzione di una variabile casuale"
https://people.dm.unipi.it/trevisan/did ... R3.nb.html
"il suo valore atteso è definito dalla formula ... il comando ``mean()’’ (che calcola la media aritmetica dei valori di un vettore) è sufficiente"
http://www.ce.unipr.it/~medici/geometry/node35.html
"Il valor medio atteso (expectation, mean) di una variabile casuale $X$"
https://www.dmi.units.it/_borelli/excel/%21%2106.html
" il valore atteso (detto anche valor medio o speranza matematica)"
Parlami ancora della "mia" affermazione.[/quote]
Il valore atteso al massimo è una media pesata, ma non una media aritmetica
Forse tu Intendi la media campionaria che in quel caso coincide con il valore atteso se il campione è infinito
Infatti anche su Wikipedia(stesso link tuo di ieri) viene mostrato un grafico dove si vede che il valor medio tende al valore atteso al crescere della numerosita del campione
"ghira":
[quote="carlo96"]Buongiorno
Comunque per quanto riguarda la media il dubbio che ho è se le seguenti 2 frasi sono in contrasto o vanno bene insieme :
1 riassuma in un solo numero l'informazione relativa al valore intorno al quale crediamo che si realizzerà la variabile casuale.
2 valore atteso non corrisponde, in generale al valore più probabile
La frase 1 non mi sembra vera. Se ho una cosa che vale 0 con probabilità 0,5 e 200 miliardi con probabilità 0,5, la media è 100 miliardi. Non credo che la variabile sia "intorno a 100 miliardi". Ma dovendo riassumere questa variabile con un solo valore, cosa fai?
La frase 2 è vera. La media non è necessariamente il valore più probabile. Può anche essere un valore impossibile. Come 100 miliardi sopra.
La media può anche essere infinita o non esistere.[/quote]
OK su questa parte sono d'accordo con te
Infatti anche io avevo dubbi sulla prima frase
"carlo96":
Il valore atteso al massimo è una media pesata, ma non una media aritmetica
Sono la stessa cosa.
"carlo96":
Forse tu Intendi la media campionaria che in quel caso coincide con il valore atteso se il campione è infinito
Infatti anche su Wikipedia(stesso link tuo di ieri) viene mostrato un grafico dove si vede che il valor medio tende al valore atteso al crescere della numerosita del campione
La media di un campione tende (in qualche senso) alla media della distribuzione, sotto certe condizioni. Non vale per la distribuzione Cauchy dove la distribuzione non ha una media ma un campione l'avrà. Ma la media (aritmetica) e il valore atteso della distribuzione sono la stessa cosa. Dico "aritmetica" perché ci sono anche medie geometriche e armoniche e magari altre che non mi vengono in mente adesso.
Continuo a non capire cosa stai chiedendo. Se quello che chiedi c'entra con campioni e non distribuzioni, o distribuzioni ma non campioni, o entrambe le cose, o nessuna delle due cose, puoi cercare di spiegare molto più chiaramente cos'è che vuoi sapere?
Media è valore atteso sono la stessa cosa. Sarà anche vero che nessuno parla del valore atteso di un campione. Onestamente dico quasi sempre "media" (aritmetica). Ma uso la notazione E(X) abbastanza spesso è E qui vorrà dire Expected, atteso.
Il fatto è che il valore atteso di una variabile aleatoria secondo me è diversa dalla media aritmetica
Semplicemente perché si calcolano in modo diverso e si applicano in contesti totalmente diversi
La media aritmetica è la somma di tutti i valori/ numero totale dei valori e quindi c'entra con l osservazione del campione ( estrazione degli elementi di un campione)
Il valore atteso è associata invece alla variabile aleatoria e infatti bisogna pure distinguere se il caso discreto o Co tinuo, ma in entrambi i casi nessuna delle 2 formule del valore atteso(caso Co tinuo o discreto) conic ide con la formula della media aritmetica)
Semplicemente perché si calcolano in modo diverso e si applicano in contesti totalmente diversi
La media aritmetica è la somma di tutti i valori/ numero totale dei valori e quindi c'entra con l osservazione del campione ( estrazione degli elementi di un campione)
Il valore atteso è associata invece alla variabile aleatoria e infatti bisogna pure distinguere se il caso discreto o Co tinuo, ma in entrambi i casi nessuna delle 2 formule del valore atteso(caso Co tinuo o discreto) conic ide con la formula della media aritmetica)
Se posso intromettermi, concordo con @carlo96 che i due concetti siano differenti.
Il valore atteso è calcolabile quando è nota la distribuzione di probabilità della v.a., mentre la media aritmetica è un calcolo statistico fatto su un campione di risultati. Solo per popolazioni infinite e sotto certe ipotesi, la media aritmetica tende al valore atteso (LGN).
Il valore atteso è calcolabile quando è nota la distribuzione di probabilità della v.a., mentre la media aritmetica è un calcolo statistico fatto su un campione di risultati. Solo per popolazioni infinite e sotto certe ipotesi, la media aritmetica tende al valore atteso (LGN).
"cooper":
Se posso intromettermi, concordo con @carlo96 che i due concetti siano differenti.
Il valore atteso è calcolabile quando è nota la distribuzione di probabilità della v.a., mentre la media aritmetica è un calcolo statistico fatto su un campione di risultati. Solo per popolazioni infinite e sotto certe ipotesi, la media aritmetica tende al valore atteso (LGN).
Cos'è, allora, la media di una distribuzione? È diversa dal suo valore atteso? Come?
La parola media, senza nessun aggettivo dopo, è come dici tu un sinonimo di valore atteso (e quindi non c'è ovviamente differenza). Ma come tu precisi, chiedi la "media di una distribuzione".
La media aritmetica invece prescinde dalla distribuzione.
La media aritmetica invece prescinde dalla distribuzione.
"cooper":
Se posso intromettermi, concordo con @carlo96 che i due concetti siano differenti.
Il valore atteso è calcolabile quando è nota la distribuzione di probabilità della v.a., mentre la media aritmetica è un calcolo statistico fatto su un campione di risultati. Solo per popolazioni infinite e sotto certe ipotesi, la media aritmetica tende al valore atteso (LGN).
Scusate se mi intrometto pure io, riprendendo quello che dice cooper: si tratta di due concetti differenti.
Il valore atteso (o media) di una v.c. è un concetto di calcolo delle probabilità, il termine media aritmetica si usa invece in genere nella statistica descrittiva.
La statistica descrittiva è quella che cerca di ottenere informazioni operando sull'intera popolazione, cioè sappiamo tutto della popolazione e quindi si hanno valori certi. E quindi il calcolo delle probabiltà non c'entra, siamo in ambito deterministico.
L'esempio tipico è quello di conoscere l'altezza media di un gruppo, ad esempio di una classe scolastica, di cui conosciamo l'altezza di tutti i componenti. Ne calcoliamo quindi la media aritmetica, con la formula nota, la somma delle altezze dei singoli diviso il numero dei componenti.
Cosa diversa è il valore atteso (o media ) di una variabile casuale. E cosa diversa è la statistica inferenziale che fa uso del calcolo delle probabilità, per risalire da un campione (noto) alla intera popolazione, che non conosciamo.
Si può dire che la statistica inferenziale passa in un certo senso per la statistica descrittiva, nel senso che quando abbiamo un campione ci calcoliamo ad esempio la sua media aritmetica, se abbiamo come scopo di stimare la media della popolazione, e questo può essere visto come problema di statistica descrittiva, visto che del campione conosciamo ogni elemento.
Ma poi viene la parte inferenziale, che è cosa del tutto diversa dalla parte descrittiva.
Scusate se dico ovvietà, ma mi sembra che il dubbio di carlo96 sia legato anche a questa confusione terminologica.
La domanda posta da carlo96 sul significato 'concettuale' di media, al di là della sua definizione formale, mi ha incuriosito.
E in effetti, pensavo, visto che si studia il calcolo delle probabilità assiomatizzato, queste riflessioni trovano in genere poco spazio.
Nel caso potesse interessare a carlo96 o a qualcun altro, mi sono accorta che carlo96 sembra essere in buona compagnia, a essere insoddisfatto da una definizione data da mere proprietà formali.
Perché riflessioni sul concetto di media sono state fatte da Bruno De Finetti, uno dei maggiori probabilisti del secolo scorso. Ho pensato infatti di andare a vedere il suo Teoria della probabilità, che è un libro molto diverso dalle trattazioni formali a cui siamo abituati, molto più filosofico e concettuale. De Finetti in un paragrafo intitolato Medie; medie associative, a p. 69, scrive:
"9.1 Cogliamo l'occasione per presentare in astratto[...] una nozione che ha grande importanza pratica e concettuale in tutti i campi[...]. Si tratta della nozione di media, che per solito viene definita mediante mere proprietà formali di casi particolari, ed ha invece, come ha messo in luce Oscar Chisini, un significato ben preciso e importante come utile 'riassunto', o 'caratteristica sintetica', di qualcosa di più complesso.
Un primo esempio è quello del baricentro, o, aritmeticamente, della media aritmetica (in genere ponderata) delle coordinate dei punti-massa. E' noto come, nella meccanica, per molti aspetti ed effetti tutto va come se tutta la massa fosse concentrata nel baricentro. Nel linguaggio in uso nella statistica, si direbbe che la conoscenza del baricentro (e della massa) costituisce un riassunto esaustivo (cioè completo, sufficiente) per certi scopi. Per altri scopi, sempre in meccanica, occorre in più conoscere il momento di inerzia (il nocciolo di inerzia), e il riassunto esaustivo è allora l'insieme di queste indicazioni di 1° e di 2° ordine. E' utile preannunciare che la conoscenza di queste caratteristiche di 2° ordine avrà una parte importante anche nella statistica e nella teoria delle probabilità (soprattutto, dà uno strumento potente per studiare dei problemi in modo spesso sufficientemente esauriente benché sommario).
9.2 Ma veniamo alla definizione di media secondo Chisini, che si basa proprio su questo concetto di riassunto esaustivo dando così alla nozione il significato relativo e funzionale di 'rispondente a un dato scopo'. [...] Secondo Chisini, "Si dice che $x$ è la media di $n$ numeri $x_1, x_2,...,x_n$ agli effetti di un problema in cui interessa una loro funzione $f(x_1, x_2, ...,x_n)$ se essa ha lo stesso valore che se tutti gli $x_h$ avessero il medesimo valore $x$: $f((x_1, x_2, ...,x_n)=f(x, x, ...,x) $". (Qui ci si riferisce al caso più semplice, senza ponderazione, ma il concetto è il medesimo anche nel nuovo caso ed in quello- che vedremo nel cap. VI- [highlight]di distribuzioni,[/highlight][sottolineatura mia] anche continue.
9.3 Il tipo di medie più importante è quello delle medie associative; la proprietà che le definisce è che rimangono invariate se alcune delle grandezze vengono sostituite dalla loro media (così come per trovare il baricentro si può concentrare una parte della masse nel loro baricentro). Come dimostrato (indipendentemente e circa simultaneamente) da Nagumo e Kolmogorov, le medie associative sono tutte e sole le trasformate (crescenti) della media aritmetica.[...]
Quindi De Finetti considera concettualmente analoghi i concetti di media in caso deterministico e nel caso di distribuzione di probabilità, come ho sottolineato in giallo.
E considera il concetto di media, e di altri momenti, come relativo e finalizzato a uno scopo. Quindi in altre circostanze saranno rilevanti altri concetti, oltre la media, come ad esempio quello di varianza (le "caratteristiche di 2° ordine").
Io personalmente ho sempre associato il concetto di media aritmetica al concetto di 'spalmamento', cioè abbiamo una quantità distribuita in modo ineguale tra più componenti di una popolazione, e la spalmiamo su tutta la popolazione, apparando
.
Poi non è così lontano da quello che dice De Finetti...
E in effetti, pensavo, visto che si studia il calcolo delle probabilità assiomatizzato, queste riflessioni trovano in genere poco spazio.
Nel caso potesse interessare a carlo96 o a qualcun altro, mi sono accorta che carlo96 sembra essere in buona compagnia, a essere insoddisfatto da una definizione data da mere proprietà formali.
Perché riflessioni sul concetto di media sono state fatte da Bruno De Finetti, uno dei maggiori probabilisti del secolo scorso. Ho pensato infatti di andare a vedere il suo Teoria della probabilità, che è un libro molto diverso dalle trattazioni formali a cui siamo abituati, molto più filosofico e concettuale. De Finetti in un paragrafo intitolato Medie; medie associative, a p. 69, scrive:
"9.1 Cogliamo l'occasione per presentare in astratto[...] una nozione che ha grande importanza pratica e concettuale in tutti i campi[...]. Si tratta della nozione di media, che per solito viene definita mediante mere proprietà formali di casi particolari, ed ha invece, come ha messo in luce Oscar Chisini, un significato ben preciso e importante come utile 'riassunto', o 'caratteristica sintetica', di qualcosa di più complesso.
Un primo esempio è quello del baricentro, o, aritmeticamente, della media aritmetica (in genere ponderata) delle coordinate dei punti-massa. E' noto come, nella meccanica, per molti aspetti ed effetti tutto va come se tutta la massa fosse concentrata nel baricentro. Nel linguaggio in uso nella statistica, si direbbe che la conoscenza del baricentro (e della massa) costituisce un riassunto esaustivo (cioè completo, sufficiente) per certi scopi. Per altri scopi, sempre in meccanica, occorre in più conoscere il momento di inerzia (il nocciolo di inerzia), e il riassunto esaustivo è allora l'insieme di queste indicazioni di 1° e di 2° ordine. E' utile preannunciare che la conoscenza di queste caratteristiche di 2° ordine avrà una parte importante anche nella statistica e nella teoria delle probabilità (soprattutto, dà uno strumento potente per studiare dei problemi in modo spesso sufficientemente esauriente benché sommario).
9.2 Ma veniamo alla definizione di media secondo Chisini, che si basa proprio su questo concetto di riassunto esaustivo dando così alla nozione il significato relativo e funzionale di 'rispondente a un dato scopo'. [...] Secondo Chisini, "Si dice che $x$ è la media di $n$ numeri $x_1, x_2,...,x_n$ agli effetti di un problema in cui interessa una loro funzione $f(x_1, x_2, ...,x_n)$ se essa ha lo stesso valore che se tutti gli $x_h$ avessero il medesimo valore $x$: $f((x_1, x_2, ...,x_n)=f(x, x, ...,x) $". (Qui ci si riferisce al caso più semplice, senza ponderazione, ma il concetto è il medesimo anche nel nuovo caso ed in quello- che vedremo nel cap. VI- [highlight]di distribuzioni,[/highlight][sottolineatura mia] anche continue.
9.3 Il tipo di medie più importante è quello delle medie associative; la proprietà che le definisce è che rimangono invariate se alcune delle grandezze vengono sostituite dalla loro media (così come per trovare il baricentro si può concentrare una parte della masse nel loro baricentro). Come dimostrato (indipendentemente e circa simultaneamente) da Nagumo e Kolmogorov, le medie associative sono tutte e sole le trasformate (crescenti) della media aritmetica.[...]
Quindi De Finetti considera concettualmente analoghi i concetti di media in caso deterministico e nel caso di distribuzione di probabilità, come ho sottolineato in giallo.
E considera il concetto di media, e di altri momenti, come relativo e finalizzato a uno scopo. Quindi in altre circostanze saranno rilevanti altri concetti, oltre la media, come ad esempio quello di varianza (le "caratteristiche di 2° ordine").
Io personalmente ho sempre associato il concetto di media aritmetica al concetto di 'spalmamento', cioè abbiamo una quantità distribuita in modo ineguale tra più componenti di una popolazione, e la spalmiamo su tutta la popolazione, apparando
.Poi non è così lontano da quello che dice De Finetti...
Ciao @gabriella127.
Interessante. Non avevo mai nemmeno sentito quel libro, se mi capita l'occasione lo leggerò volentieri, grazie della dritta.
"gabriella127":
"9.1 ...
9.2 ...
9.3 ...
Interessante. Non avevo mai nemmeno sentito quel libro, se mi capita l'occasione lo leggerò volentieri, grazie della dritta.
Grazie cooper, è un libro affascinante proprio perché affronta molte questioni concettuali, tieni presente che De Finetti è considerato uno dei 'padri' dell'impostazione soggetivistica della probabilità.
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