Sigma algebra generata da eventi
Ciao a tutti, sto studiando probabilità e mi sono perso in un passaggio teorico dal quale non riesco a venire a capo.
In particolare: considerato \(\displaystyle \Omega \) spazio campionario, \(\displaystyle \mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega} \) una \(\displaystyle \sigma \)-algebra e \(\displaystyle C\subseteq 2^{\Omega} \), si definisce la \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da \(\displaystyle C \) (che indico con \(\displaystyle \sigma(C) \)) come la più piccola \(\displaystyle \sigma \)-algebra contenente \(\displaystyle C \).
Da questa definizione capisco che \(\displaystyle C \) deve essere un sottoinsieme dell'insieme delle parti \(\displaystyle 2^{\Omega} \) per poter generare una \(\displaystyle \sigma \)-algebra. Come mai allora a lezione e sui libri vedo degli esempi di \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da elementi di \(\displaystyle 2^{\Omega} \) e invece che da suoi sottoinsiemi?
Mi riferisco in particolare all'esempio seguente: considerato \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A} )\) spazio misurabile con \(\displaystyle \mathcal{A}=\left \{ A,A^{c},\Omega,\emptyset \right \} \) (e \(\displaystyle A\subseteq\Omega \)), vale \(\displaystyle \sigma(\left \{ A\right \})=\sigma(A)=\sigma(A,A^{c}) =\mathcal{A} \).
Non capisco in che senso sia valida la scrittura \(\displaystyle \sigma(A) \): \(\displaystyle A \) è infatti un elemento di \(\displaystyle \mathcal{A} \), non un suo sottoinsieme. Inoltre, perché è corretto scrivere \(\displaystyle \sigma(A,A^{c}) \) invece di \(\displaystyle \sigma( \left \{ A,A^{c} \right \}) \)?
Difatti \(\displaystyle \sigma(C) \) soddisfa \(\displaystyle C\subseteq\sigma(C)\subseteq\mathcal{B} \) per ogni \(\displaystyle \sigma \)-albebra \(\displaystyle \mathcal{B} \supseteq C\): sicuramente non può valere \(\displaystyle C\in\sigma(C) \), perché essere elemento di un insieme è diverso da essere un sottoinsieme di tale insieme.
Spero di essere stato chiaro e ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
In particolare: considerato \(\displaystyle \Omega \) spazio campionario, \(\displaystyle \mathcal{A}\subseteq 2^{\Omega} \) una \(\displaystyle \sigma \)-algebra e \(\displaystyle C\subseteq 2^{\Omega} \), si definisce la \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da \(\displaystyle C \) (che indico con \(\displaystyle \sigma(C) \)) come la più piccola \(\displaystyle \sigma \)-algebra contenente \(\displaystyle C \).
Da questa definizione capisco che \(\displaystyle C \) deve essere un sottoinsieme dell'insieme delle parti \(\displaystyle 2^{\Omega} \) per poter generare una \(\displaystyle \sigma \)-algebra. Come mai allora a lezione e sui libri vedo degli esempi di \(\displaystyle \sigma \)-algebra generata da elementi di \(\displaystyle 2^{\Omega} \) e invece che da suoi sottoinsiemi?
Mi riferisco in particolare all'esempio seguente: considerato \(\displaystyle (\Omega,\mathcal{A} )\) spazio misurabile con \(\displaystyle \mathcal{A}=\left \{ A,A^{c},\Omega,\emptyset \right \} \) (e \(\displaystyle A\subseteq\Omega \)), vale \(\displaystyle \sigma(\left \{ A\right \})=\sigma(A)=\sigma(A,A^{c}) =\mathcal{A} \).
Non capisco in che senso sia valida la scrittura \(\displaystyle \sigma(A) \): \(\displaystyle A \) è infatti un elemento di \(\displaystyle \mathcal{A} \), non un suo sottoinsieme. Inoltre, perché è corretto scrivere \(\displaystyle \sigma(A,A^{c}) \) invece di \(\displaystyle \sigma( \left \{ A,A^{c} \right \}) \)?
Difatti \(\displaystyle \sigma(C) \) soddisfa \(\displaystyle C\subseteq\sigma(C)\subseteq\mathcal{B} \) per ogni \(\displaystyle \sigma \)-albebra \(\displaystyle \mathcal{B} \supseteq C\): sicuramente non può valere \(\displaystyle C\in\sigma(C) \), perché essere elemento di un insieme è diverso da essere un sottoinsieme di tale insieme.
Spero di essere stato chiaro e ringrazio in anticipo chi mi aiuterà.
Risposte
E' solo questione di notazione; e' giusto dire che una $\sigma$-algebra e' generata da \(C\subseteq 2^{2^\Omega}\), ma e' altrettanto giusto (al netto del fatto che si sta confondendo \(A\subseteq\Omega\) col singoletto \(\{A\}\subseteq 2^\Omega\) generare una sigma algebra "con un singolo elemento".
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