Sigma Algebra dimostrare
Ciao a tutti non riesco a risolvere questo punto.
Sia $N:=\{A \in F: P(A)=0 \quad o \quad P(A)=1\}$ definito in uno spazio di probabilità $(\Omega, F, P)$
Dimostrare che N è una $\sigma$-algebra.
Non riesco a dimostrare che se $A_n$ sono una successione di insiemi che appartengono a $N$, allora la loro unione continua ad appartenere a $A_n$.
Potete darmi un suggerimento?
Sia $N:=\{A \in F: P(A)=0 \quad o \quad P(A)=1\}$ definito in uno spazio di probabilità $(\Omega, F, P)$
Dimostrare che N è una $\sigma$-algebra.
Non riesco a dimostrare che se $A_n$ sono una successione di insiemi che appartengono a $N$, allora la loro unione continua ad appartenere a $A_n$.
Potete darmi un suggerimento?
Risposte
Immagino tu voglia mostrare che la loro unione continua ad appartenere a $N$.
1) $(A_n)_{n \ge 1} \in N => (A_n)_{n \ge 1} \in F => \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in F$ poichè $F$ è una $\sigma$-algebra
2)
Se $P(A_n)=0 \quad \forall n \ge 1$, valendo $0 \le P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) \le \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=0$, si ha che $P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) =0$ e dunque $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in N$
Se $ \exists m \ge 1 : P(A_m)=1$, valendo $1=P(A_m) \le P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) \le P(\Omega)=1$, si ha che $P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) =1$ e dunque $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in N$
1) $(A_n)_{n \ge 1} \in N => (A_n)_{n \ge 1} \in F => \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in F$ poichè $F$ è una $\sigma$-algebra
2)
Se $P(A_n)=0 \quad \forall n \ge 1$, valendo $0 \le P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) \le \sum_{n=1}^{\infty}P(A_n)=0$, si ha che $P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) =0$ e dunque $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in N$
Se $ \exists m \ge 1 : P(A_m)=1$, valendo $1=P(A_m) \le P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) \le P(\Omega)=1$, si ha che $P(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) =1$ e dunque $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \in N$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo