Si lanciano cinque dadi fino ad ottenere 5 sei
La traccia è la seguente:
Si lanciano 5 dadi, di cui tre onesti e due truccati in modo che il 6 esca con probabilità u, fino a quando il risultato non è di 5 sei. Si denoti con X il numero di lanci necessari ad ottenere il risultato desiderato. Calcolare:
a) La pdf di X in funzione di u
b) Il minimo valore di u che garantisca che E [X]<=300
c) Il valore di u per il quale la dispersione $(E[X])/sqrt [VAR (X)]$ sia massima
N. B. Può servire il seguente risultato: $\sum_{n=1}^\infty\ n^2*r^(n-1)=1/(1-r)^2+(2r)/(1-r)^3$, |r|<1
Ecco come penso si debba risolvere:
a) Si trova innanzitutto la probabilità che escano 5 sei su 5 dadi lanciati allo stesso tempo. Essendo eventi indipendenti la probabilità è, con A={si ottengono tre sei su tre dadi onesti} e B={si ottengono 2 sei su due dadi truccati}, p=P(A)*P(B), quindi p=$(1/6)^3*u^2$.
Si usa poi la distribuzione geometrica di paramentro p per trovare il numero X di tentativi. Quindi P(X=x)=$p(1-p)^(x-1)$
b) E[X]=$1/p$=$1/[(1/6)^3*u^2]$. Si fa la disequazione e si ottiene qualcosa intorno a 0.85
c) Per lo stesso procedimento si inserisce p nella formula di E e VAR e si ottiene che il valore di u per il quale il rapporto è massimo è 0.
È corretto? A cosa serve quella formula nell'ultima parte?
Si lanciano 5 dadi, di cui tre onesti e due truccati in modo che il 6 esca con probabilità u, fino a quando il risultato non è di 5 sei. Si denoti con X il numero di lanci necessari ad ottenere il risultato desiderato. Calcolare:
a) La pdf di X in funzione di u
b) Il minimo valore di u che garantisca che E [X]<=300
c) Il valore di u per il quale la dispersione $(E[X])/sqrt [VAR (X)]$ sia massima
N. B. Può servire il seguente risultato: $\sum_{n=1}^\infty\ n^2*r^(n-1)=1/(1-r)^2+(2r)/(1-r)^3$, |r|<1
Ecco come penso si debba risolvere:
a) Si trova innanzitutto la probabilità che escano 5 sei su 5 dadi lanciati allo stesso tempo. Essendo eventi indipendenti la probabilità è, con A={si ottengono tre sei su tre dadi onesti} e B={si ottengono 2 sei su due dadi truccati}, p=P(A)*P(B), quindi p=$(1/6)^3*u^2$.
Si usa poi la distribuzione geometrica di paramentro p per trovare il numero X di tentativi. Quindi P(X=x)=$p(1-p)^(x-1)$
b) E[X]=$1/p$=$1/[(1/6)^3*u^2]$. Si fa la disequazione e si ottiene qualcosa intorno a 0.85
c) Per lo stesso procedimento si inserisce p nella formula di E e VAR e si ottiene che il valore di u per il quale il rapporto è massimo è 0.
È corretto? A cosa serve quella formula nell'ultima parte?
Risposte
Premesso che ho fatto i conti a mente e quindi non ho controllato bene ciò che hai scritto, mi pare tu abbia fatto tutto bene tranne il punto c).
$(E (X)) /sqrt (V (X))=(1/p)/sqrt (q/p^2)=1/sqrt (q)$
Dove $q=1-p $
Ovviamente è massimo quando $q rarr 0$. Dato che ci sono 3 dadi equi, q non può essere zero ed il rapporto è massimo quando $u=1$ (cioè esattamente il contrario di ciò che hai scritto tu)
La formula che ti suggerisce il testo serve per calcolare la varianza di una geometrica dato che è il nucleo del momento secondo (esistono anche altri metodi per calcolarlo) ..ma tu usi il valore che già conosci...
Ed ecco come calcolare il momento secondo (e quindi anche la varianza) della tua geometrica senza usare il suggerimento del testo.
$E (X^2)=sum_(x=1)^(oo)x^2p q^(x-1) $
Poni $x^2=x (x-1)+x $ e ricordando[nota]la dimostrazione è analoga e molto più semplice[/nota] che $E (X)=1/p $ e che $V (X)=E (X^2)-E^2 (X) $ ottieni
$V (X)=pqsum_(x=1)^(oo)d^2/(dq^2)q^x-q/p^2=$
$=pq d^2/(dq^2) q/(1-q)-q/p^2=$
$=(2q)/p^2-q/p^2=q/p^2$
$(E (X)) /sqrt (V (X))=(1/p)/sqrt (q/p^2)=1/sqrt (q)$
Dove $q=1-p $
Ovviamente è massimo quando $q rarr 0$. Dato che ci sono 3 dadi equi, q non può essere zero ed il rapporto è massimo quando $u=1$ (cioè esattamente il contrario di ciò che hai scritto tu)
La formula che ti suggerisce il testo serve per calcolare la varianza di una geometrica dato che è il nucleo del momento secondo (esistono anche altri metodi per calcolarlo) ..ma tu usi il valore che già conosci...
Ed ecco come calcolare il momento secondo (e quindi anche la varianza) della tua geometrica senza usare il suggerimento del testo.
$E (X^2)=sum_(x=1)^(oo)x^2p q^(x-1) $
Poni $x^2=x (x-1)+x $ e ricordando[nota]la dimostrazione è analoga e molto più semplice[/nota] che $E (X)=1/p $ e che $V (X)=E (X^2)-E^2 (X) $ ottieni
$V (X)=pqsum_(x=1)^(oo)d^2/(dq^2)q^x-q/p^2=$
$=pq d^2/(dq^2) q/(1-q)-q/p^2=$
$=(2q)/p^2-q/p^2=q/p^2$
Grazie.
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