Sfere in scatole
Ciao a tutti,
sto provando a risolvere un esercizio di stocastica, e vorrei chiedervi aiuto, perchè non sono sicuro della correttezza del mio svolgimento.
"77 sfere vengono poste in maniera casuale in 999 scatole numerate: quale è la probabilità che nelle scatole 1-11 finiscano esattamente 7 sfere, nei casi:
a) le scatole hanno capienza illimitata
b) le scatole possono contenere solo una sfera ciascuna"
Mio svolgimento:
N = 999
n = 77
M = 11
k = 7
a)
Descrizione evento certo:
77 sfere disposte su 999 scatole: possibili disposizioni (con ripetizione) --> $N^n$ (descrizione dell'evento certo)
Evento obiettivo:
- Delle 77 disposizioni ne ho 7 "utili": possibili combinazioni (senza ripetizione) --> ${n!}/(k!(n-k)!)$
- Per l'evento "k sfere finiscono in M scatole, le restanti n-k finiscono in N-M scatole", poichè sono due eventi che devono avvenire contemporaneamente --> moltiplicazione di possibili disposizioni (con ripetizione): $M^k*(N-M)^{n-k}$
Probabilità che evento si realizzi:
p = evento obiettivo / evento certo --> $ {[{n!}/(k!(n-k)!)]*[M^k*(N-M)^{n-k}]}/N^n = [{n!}/(k!(n-k)!)]*(M/N)^k*(1-M/N)^{n-k}= 0.000021741$
È corretto?
b) Qui credo si tratti di probabilità condizionata e non sono riuscito ancora ad impostare il problema. Qualcuno ha forse idea di come farlo?
sto provando a risolvere un esercizio di stocastica, e vorrei chiedervi aiuto, perchè non sono sicuro della correttezza del mio svolgimento.
"77 sfere vengono poste in maniera casuale in 999 scatole numerate: quale è la probabilità che nelle scatole 1-11 finiscano esattamente 7 sfere, nei casi:
a) le scatole hanno capienza illimitata
b) le scatole possono contenere solo una sfera ciascuna"
Mio svolgimento:
N = 999
n = 77
M = 11
k = 7
a)
Descrizione evento certo:
77 sfere disposte su 999 scatole: possibili disposizioni (con ripetizione) --> $N^n$ (descrizione dell'evento certo)
Evento obiettivo:
- Delle 77 disposizioni ne ho 7 "utili": possibili combinazioni (senza ripetizione) --> ${n!}/(k!(n-k)!)$
- Per l'evento "k sfere finiscono in M scatole, le restanti n-k finiscono in N-M scatole", poichè sono due eventi che devono avvenire contemporaneamente --> moltiplicazione di possibili disposizioni (con ripetizione): $M^k*(N-M)^{n-k}$
Probabilità che evento si realizzi:
p = evento obiettivo / evento certo --> $ {[{n!}/(k!(n-k)!)]*[M^k*(N-M)^{n-k}]}/N^n = [{n!}/(k!(n-k)!)]*(M/N)^k*(1-M/N)^{n-k}= 0.000021741$
È corretto?
b) Qui credo si tratti di probabilità condizionata e non sono riuscito ancora ad impostare il problema. Qualcuno ha forse idea di come farlo?
Risposte
Mi è venuto in mente come impostare b):
b) Modello di estrazione di sfere da urna senza ripetizione:
probabilità = $ ( ((M),(k)) ((N-m),(n-k)) ) /( ((N),(n)) ) = 0.000003068 $
Vi sembra corretto? Non riesco a capire se così facendo ho imposto il vincolo che su ogni scatola vada una sola sfera al massimo...
b) Modello di estrazione di sfere da urna senza ripetizione:
probabilità = $ ( ((M),(k)) ((N-m),(n-k)) ) /( ((N),(n)) ) = 0.000003068 $
Vi sembra corretto? Non riesco a capire se così facendo ho imposto il vincolo che su ogni scatola vada una sola sfera al massimo...
Secondo me è perfetto [a parte un evidente refuso nella formula b) dove è $M$ e non $m$ ]
Io quando ho questi dubbi in genere riscrivo l'esercizio con un insieme molto più ridotto e ci ragiono sopra...
Abbiamo 10 buche e 3 palline. In ogni buca ci va solo una pallina, non di più. Probabilità che nelle prime 4 buche ci siano esattamente 2 palline.
con la tua formula viene $(((4),(2))((6),(1)))/(((10),(3)))=36/120$ che sono i casi favorevoli diviso i casi possibili. I casi favorevoli sono questi:
non ne vedo altri....sui casi possibili non c'è nulla da discutere...ergo mi sembra perfetto.
"Guerino":
Non riesco a capire se così facendo ho imposto il vincolo che su ogni scatola vada una sola sfera al massimo...
Io quando ho questi dubbi in genere riscrivo l'esercizio con un insieme molto più ridotto e ci ragiono sopra...
Abbiamo 10 buche e 3 palline. In ogni buca ci va solo una pallina, non di più. Probabilità che nelle prime 4 buche ci siano esattamente 2 palline.
con la tua formula viene $(((4),(2))((6),(1)))/(((10),(3)))=36/120$ che sono i casi favorevoli diviso i casi possibili. I casi favorevoli sono questi:
non ne vedo altri....sui casi possibili non c'è nulla da discutere...ergo mi sembra perfetto.
Hai ragione Tommik. Grazie per il consiglio di considerare casi con insiemi ridotti. Mi tornerà sicuramente utile in futuro 
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