Sfera aleatoria
Due punti A e B sono presi indipendentemente a caso all'interno di una sfera S di raggio 1.
Qual è la probabilità che la sfera di centro A e raggio AB sia dentro S?
Qual è la probabilità che la sfera di centro A e raggio AB sia dentro S?
Risposte
Sapendo poco di probabilità posso solo dirti che la distanza di A dal centro della sfera S deve essere minore di (1 - distanza da A a B), credo... 
io posso solo dire che se $d(A,B):=X$ dove X è la variabile aleatoria che stabilisce la distanza tra A e B, allora si ha per ogni $X in [0,1] P(X)=|1-X|^3$
$X in (1,2] P(X)=0$
che è una distribuzione di probabilità nel continuo, quindi studiando questa distribuzione di probabilità e in particolare integrandola, si ottiene $P=1/4$, però non considero le coordinate sferiche, quindi chiedo conferma sul risultato.
$X in (1,2] P(X)=0$
che è una distribuzione di probabilità nel continuo, quindi studiando questa distribuzione di probabilità e in particolare integrandola, si ottiene $P=1/4$, però non considero le coordinate sferiche, quindi chiedo conferma sul risultato.
Forse ho sbagliato qualcosa ... ma a me viene una probabilità di 1/20.
non saprei, forse ho sbagliato perchè non ho considerato le coordinate sferiche. Ti torna $P(X)=(1-X)^3$?
A me viene:
$P(x)=3x^2(1-x)^3$
$P(x)=3x^2(1-x)^3$
Che cosa indichi con x? perchè se ci indichi la distanza tra A e B allora non è giusto perchè ti viene $P(0)=0$ mentre dovrebbe essere =1.
Con x indico la distanza del punto A dal centro della sfera.
bè allora P(0)=1 non ti sembra?se A si trova nel centro, comunque prendo B la sfera si trova all'interno
Io ho considerato la funzione probabilità che il punto A cada ad una distanza x dal centro della sfera O come $P(x) =3x^2$ per cui la probabilità che A coicida con O è 0.
non credo che il tuo ragionamento sia corretto, ogni punto della sfera è equiprobabile, almeno credo, come fai a stabilire che un punto è più probabile di un altro se non si conoscono le modalità con cui si scelgono i punti? Cmq ci siamo capiti, ciao. 
"GuillaumedeL'Hopital":
non credo che il tuo ragionamento sia corretto, ogni punto della sfera è equiprobabile, almeno credo, come fai a stabilire che un punto è più probabile di un altro se non si conoscono le modalità con cui si scelgono i punti? Cmq ci siamo capiti, ciao.
Non ci siamo capiti
. Ogni punto della sfera è equiprobabile ma il numero dei punti aumenta con la distanza dal centro della sfera. Ad esempio la probabilità che il punto A cada tra $0
continuo a non capire, allora per te $P(0<=d<=x)=x^3$ poi da qui passi a dire che $P(x)=3*x^2$ derivando l'espressione precedente, ma così $P(1)=3$ il che è assurdo, se è vero che i punti sono infiniti, dovresti trovare un modo per distribuire infiniti punti, non so se mi spiego, se faccio un certo numero di estrazioni, i punti a distanza $a$ avranno $q$ frequenza, ma mi sembra improbabile riuscire in ciò, secondo me conviene pensare in termini di distanza tra A e B, come ho fatto io.
Ti spiego il mio ragionamento (ripeto: non sono sicuro che sia corretto 
).
Consideriamo il punto A ed analizziamo la probabilità che esso cada ad una distanza x da O.
I punti posti a distanza x da O si trovano su di una superficie sferica di raggio x la cui area è $4*pi*x^2$. La probabilità P(x) perciò varia con il quadrato della distanza da O ($P(x)=k*x^2$).
Dovendo essere (?prima questo passaggio l'avevo saltato ponendo k =1?):
$int_0^1P(x)dx=1$
si trova
$k int_0^1x^2dx=1 =>k=3$
La funzione probabilità è dunque $P(x)=3x^2$
Se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
Si ha dunque:
$P=3int_0^1x^2(1-x)^3dx=1/20$
).Consideriamo il punto A ed analizziamo la probabilità che esso cada ad una distanza x da O.
I punti posti a distanza x da O si trovano su di una superficie sferica di raggio x la cui area è $4*pi*x^2$. La probabilità P(x) perciò varia con il quadrato della distanza da O ($P(x)=k*x^2$).
Dovendo essere (?prima questo passaggio l'avevo saltato ponendo k =1?):
$int_0^1P(x)dx=1$
si trova
$k int_0^1x^2dx=1 =>k=3$
La funzione probabilità è dunque $P(x)=3x^2$
Se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
Si ha dunque:
$P=3int_0^1x^2(1-x)^3dx=1/20$
"MaMo":
Ti spiego il mio ragionamento (ripeto: non sono sicuro che sia corretto
Consideriamo il punto A ed analizziamo la probabilità che esso cada ad una distanza x da O.
I punti posti a distanza x da O si trovano su di una superficie sferica di raggio x la cui area è $4*pi*x^2$. La probabilità P(x) perciò varia con il quadrato della distanza da O ($P(x)=k*x^2$).
Dovendo essere (?prima questo passaggio l'avevo saltato ponendo k =1?):
$int_0^1P(x)dx=1$
si trova
$k int_0^1x^2dx=1 =>k=3$
La funzione probabilità è dunque $P(x)=3x^2$
Se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
Si ha dunque:
$P=3int_0^1x^2(1-x)^3dx=1/20$
ripeto: non sono sicuro neanch'io, cmq il tuo ragionamento è falso, se dici che la probabilità che A cada a distanza x dal centro è $3x^2$ (non ci conterei troppo) allora dovresti usarla di nuovo per "l'estrazione" di B, impresa alquanto ardua. Speriamo che qualcuno ci delucidi. Altrimenti rimarremo col dubbio in eterno.
Il ragionamento di MaMo è corretto (come sempre!), complimenti!
Vediamo se riesco a togliere i dubbi di GuillaumedeL'Hopital.
In un post precedente hai detto
allora per te $P(0<=d<=x)=x^3$ poi da qui passi a dire che $P(x)=3*x^2$ derivando l'espressione precedente, ma così $P(1)=3$ il che è assurdo...
Allora $P(x)=3x^2$ è una densità di probabilità, quindi $P(d<1)=3int_0^1x^2dx=1$, il che è corretto.
MaMo poi ha calcolato la seguente probabilità condizionata (con E indico l'evento di cui si deve calcolare la probabilità e con OA la distanza di A dal centro O di S) :
P( E | OA=x)=(1-x)^3 con 0 < x < 1
Vale il seguente risultato, che è l'equivalente continuo del teorema delle probabilità totali:
P(E)=int P(E| X=t) f(t) dt
dove f(t) è la densità di X e l'integrale ha per estremi i valori che può assumere X.
Nel nostro caso si ha
P(E)=3int_0^1x^2(1-x)^3dx=1/20.
Vediamo se riesco a togliere i dubbi di GuillaumedeL'Hopital.
In un post precedente hai detto
allora per te $P(0<=d<=x)=x^3$ poi da qui passi a dire che $P(x)=3*x^2$ derivando l'espressione precedente, ma così $P(1)=3$ il che è assurdo...
Allora $P(x)=3x^2$ è una densità di probabilità, quindi $P(d<1)=3int_0^1x^2dx=1$, il che è corretto.
MaMo poi ha calcolato la seguente probabilità condizionata (con E indico l'evento di cui si deve calcolare la probabilità e con OA la distanza di A dal centro O di S) :
P( E | OA=x)=(1-x)^3 con 0 < x < 1
Vale il seguente risultato, che è l'equivalente continuo del teorema delle probabilità totali:
P(E)=int P(E| X=t) f(t) dt
dove f(t) è la densità di X e l'integrale ha per estremi i valori che può assumere X.
Nel nostro caso si ha
P(E)=3int_0^1x^2(1-x)^3dx=1/20.
è falso: $P(A| x)=(1-x)^3$? 
. E come lo dimostri? non mi sembra perchè allora la probabilità che un punto cada all'interno di una sfera di raggio r è sempre la stessa dovunque la sfera è posizionata e questo nega il fatto che il punto A è più probabile che cada all'esterno della sfera, perchè comunque prendo in intorno sferico del punto A allora la sua probabilità è la stessa, quindi la probabilità $P=3x^2$ è sbagliata. Ciò è evidente se si pensa alle coordinate sferiche, cioè se si effettua una trasformazione di coordinate, dove un punto $P=P(r,alpha,phi)$, similmente a dire $P(x,y,z)$.
. E come lo dimostri? non mi sembra perchè allora la probabilità che un punto cada all'interno di una sfera di raggio r è sempre la stessa dovunque la sfera è posizionata e questo nega il fatto che il punto A è più probabile che cada all'esterno della sfera, perchè comunque prendo in intorno sferico del punto A allora la sua probabilità è la stessa, quindi la probabilità $P=3x^2$ è sbagliata. Ciò è evidente se si pensa alle coordinate sferiche, cioè se si effettua una trasformazione di coordinate, dove un punto $P=P(r,alpha,phi)$, similmente a dire $P(x,y,z)$.
Sinceramente non ho capito...
comunque mi sono accorto di aver indicato con A l'evento e sempre con A il punto, facendo un po di confusione , adesso sopra indico l'evento con E.
MaMo lo ha spiegato benissimo:
se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
comunque mi sono accorto di aver indicato con A l'evento e sempre con A il punto, facendo un po di confusione , adesso sopra indico l'evento con E.
MaMo lo ha spiegato benissimo:
se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
"Piera":
Sinceramente non ho capito...
comunque mi sono accorto di aver indicato con A l'evento e sempre con A il punto, facendo un po di confusione , adesso sopra indico l'evento con E.
MaMo lo ha spiegato benissimo:
se il punto A cade ad una distanza x da O, affinchè la sfera di raggio AB sia dentro S, il punto B deve cadere all'interno di una sfera di raggio $(1-x)$ centrata in A. La probabilità che ciò avvenga è $P=(1-x)^3$.
infatti prima mi sono espresso male, TU e MaMo non dimostrate l'ultimo passaggio ritenendolo scontato, che io ritengo palesemente falso guarda su dove ora correggo
ps: MaMo e TU avete spiegato benissimo meno del niente, dimostra con parole chiare quella relazione e ti darò ragione.
"GuillaumedeL'Hopital":
è falso: $P(A| x)=(1-x)^3$?
Concordo con il calcolo di MaMo. Anch'io non sono molto ferrato in probabilità, quindi provo a spegarlo con parole povere.
Chiamo $x$ la variabile aleatoria che esprime la distanza di $A$ dal centro. Sulla densità di probabilità di $x$ mi sembra non ci siano dubbi. A questo punto per ogni valore di $x$ tra 0 e 1 devo considerare gli eventi favorevoli rispetto ai totali e poi sommare (integrare) su tutti gli $x$, pesati con la loro distribuzione. Ma, dato $x$, perchè la sfera AB sia contenuta, il punto $B$ deve distare da $A$ meno di $1-x$. La frazione di punti $B$ 'buoni' è allora il volume della sfera di raggio $1-x$ diviso il volume totale della sfera iniziale $(1-x)^3$.
Da ciò il risultato di 1/20.
ciao
si è chiaro che il volume dei punti buoni e $4/3pi(1-x)^3$, ma bisogna vedere a quale distanza dal centro si trovano questi punti, cioè la "sua probabilità è diversa a seconda che questo volume si trovi perfettamente centrato che in periferia, non ti sembra? quindi la probabilità associata a "quel volume" non è $(1-x)^3$ ma maggiore!! se si segue la stessa linea. quindi il ragionamento di MaMo è sbagliato. o forse sono pazzo io? ma non credo perchè è abbastanza facile da comprendere.
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