Sfera aleatoria
Due punti A e B sono presi indipendentemente a caso all'interno di una sfera S di raggio 1.
Qual è la probabilità che la sfera di centro A e raggio AB sia dentro S?
Qual è la probabilità che la sfera di centro A e raggio AB sia dentro S?
Risposte
"GuillaumedeL'Hopital":
quindi il ragionamento di MaMo è sbagliato. o forse sono pazzo io? ma non credo perchè è EVIDENTE.
Non dico che tu sia pazzo, e del resto la mia ignoranza in fatto di statistica e calcolo delle probabilità è quasi biblica. Però lasciami dire che "evidente" e sinonimi sono parole grosse, che soltanto io, Dio e qualche altro adepto possiamo ragionevolmente usare, gh...
dunque è vero non è poi così evidente, ma ora vi mostro un ragionamento inconfutabile ed incontrovertibile che potrebbe comprendere chiunque, anche un non esperto di probabilità e statistica.
Ad ogni punto $Q in S$ dove S è la sfera di raggio unitario, può essere associata univocamente la terna $(r,alpha,phi)$ con $ r in [0,1]$ e $alpha, phi in [-infty,+infty]$, adesso faccio scegliere da un computer in modo totalmente casuale una terna di quel tipo, cioè un punto della sfera, ebbene la probabilità $P(r<=x)=x$ e non come qualcuno diceva $x^3$, ciò è tutto sommato accettabile visto che il testo dice che vengono presi a caso dalla sfera due punti, non che la sfera viene fatta in tanti pezzettini poi messi in un'urna da cui vengono estratti due punti. Quindi impostando i nuovi calcoli si ottiene $P=1/4$ come avevo scritto all'inizio
c'è almeno qualcuno a cui sembra il mio un ragionamento sensato?
Ps: quello di MaMo e Pieragalli è di uno dei clessici errori in cui si incappa passando dal discreto al continuo
nessuno ancora mi risponde
Ad ogni punto $Q in S$ dove S è la sfera di raggio unitario, può essere associata univocamente la terna $(r,alpha,phi)$ con $ r in [0,1]$ e $alpha, phi in [-infty,+infty]$, adesso faccio scegliere da un computer in modo totalmente casuale una terna di quel tipo, cioè un punto della sfera, ebbene la probabilità $P(r<=x)=x$ e non come qualcuno diceva $x^3$, ciò è tutto sommato accettabile visto che il testo dice che vengono presi a caso dalla sfera due punti, non che la sfera viene fatta in tanti pezzettini poi messi in un'urna da cui vengono estratti due punti. Quindi impostando i nuovi calcoli si ottiene $P=1/4$ come avevo scritto all'inizio
c'è almeno qualcuno a cui sembra il mio un ragionamento sensato?
Ps: quello di MaMo e Pieragalli è di uno dei clessici errori in cui si incappa passando dal discreto al continuo
nessuno ancora mi risponde
In probabilità geometrica sono famosi i paradossi.
Il più famoso di tutti è il paradosso delle corde di Bertand (immagino sia facile trovarlo in rete e quindi non mi dilungo a spiegarlo). Dico soltanto che se in un problema probabilistico non si specificano le modalità di scelta, non è univoco il modello probabilistico, e quindi si ottengono risultati diversi e da qui il paradosso.
Ora, in questo caso il testo dice due punti A e B presi a caso all'interno di S, e con questa frase si intende che dobbiamo considerare un modello uniforme, come accade con la distribuzione uniforme su (0,1) cioè la probabilità di "avere" un intervallino è pari al rapporto della sua lunghezza con la lunghezza complessiva dell'intervallo.
Comunque il problema non me lo sono inventato, anzi l'ho preso da
Probability and Random Processes
autori :Grimmett e Stirzaker
La soluzione ufficiale di questo problema (identica a quella di MaMo) la si può trovare nel libro degli stessi autori
One Thousand Exercises in Probability
Tutto questo per dirti che la soluzione di MaMo è corretta, gli autori dei libri che ho citato sono degli esperti di fama internazionale nel calcolo delle probabilità.
Il più famoso di tutti è il paradosso delle corde di Bertand (immagino sia facile trovarlo in rete e quindi non mi dilungo a spiegarlo). Dico soltanto che se in un problema probabilistico non si specificano le modalità di scelta, non è univoco il modello probabilistico, e quindi si ottengono risultati diversi e da qui il paradosso.
Ora, in questo caso il testo dice due punti A e B presi a caso all'interno di S, e con questa frase si intende che dobbiamo considerare un modello uniforme, come accade con la distribuzione uniforme su (0,1) cioè la probabilità di "avere" un intervallino è pari al rapporto della sua lunghezza con la lunghezza complessiva dell'intervallo.
Comunque il problema non me lo sono inventato, anzi l'ho preso da
Probability and Random Processes
autori :Grimmett e Stirzaker
La soluzione ufficiale di questo problema (identica a quella di MaMo) la si può trovare nel libro degli stessi autori
One Thousand Exercises in Probability
Tutto questo per dirti che la soluzione di MaMo è corretta, gli autori dei libri che ho citato sono degli esperti di fama internazionale nel calcolo delle probabilità.
O.K. 
Confermo 1/4...
Ma ragazzi questo problema(intendendo come de l'Hop. di scegliere A in modo equiprobabile) è così semplice che si risolve a mente anche senza il misterioso cocktail di Mullis!
Altrimenti ( segnando A e B alla cieca) è 1/20 come dice Mamo e c'è poco da discutere.
E mi meraviglio di quel genio ( lo dico enfaticamente ma senza ironia ) di Hilbert,
che si permette di insultare chi non conosce su argomenti che non ha capito
(mi riferisco alla poesiola e all'aneddoto su Ramanujan, frutto della sola mia fantasia e
che vanno intesi ovviamente in senso paradossale e ironico! )
Siccome non è la prima volta che accade, sistemate un paio di cosette, toglierò il disturbo!
Forse avrò esagerato con l'ironia e sparando qualche cavolata, ma in modo garbato
e sempre costruttivo a saper leggere tra le righe.C'era poi di mezzo una scommessa,
se contasse più l'apparenza ( il nick, in questo caso ,ed un atteggiamento diciamo poco
accademico ma sempre rigoroso, salvo quache rara ma necessaria cavolata )o se contasse
di più la sostanza. Io speravo che contasse ,almeno tra gli appassionati di matematica, più
la sostanza.Sbagliavo e ho perso la scommessa!
Per me ormai la matematica è un diletto (se fatta con le persone giuste),ho passato
ormai l'età per l'ambita medaglia, vuol dire mi dovrò consolare con qualcosa di equivalente
in un altro campo,e qualche chance ,al riguardo, credo ancora di averla!
Confermo 1/4...
Ma ragazzi questo problema(intendendo come de l'Hop. di scegliere A in modo equiprobabile) è così semplice che si risolve a mente anche senza il misterioso cocktail di Mullis!
Altrimenti ( segnando A e B alla cieca) è 1/20 come dice Mamo e c'è poco da discutere.
E mi meraviglio di quel genio ( lo dico enfaticamente ma senza ironia ) di Hilbert,
che si permette di insultare chi non conosce su argomenti che non ha capito
(mi riferisco alla poesiola e all'aneddoto su Ramanujan, frutto della sola mia fantasia e
che vanno intesi ovviamente in senso paradossale e ironico! )
Siccome non è la prima volta che accade, sistemate un paio di cosette, toglierò il disturbo!
Forse avrò esagerato con l'ironia e sparando qualche cavolata, ma in modo garbato
e sempre costruttivo a saper leggere tra le righe.C'era poi di mezzo una scommessa,
se contasse più l'apparenza ( il nick, in questo caso ,ed un atteggiamento diciamo poco
accademico ma sempre rigoroso, salvo quache rara ma necessaria cavolata )o se contasse
di più la sostanza. Io speravo che contasse ,almeno tra gli appassionati di matematica, più
la sostanza.Sbagliavo e ho perso la scommessa!
Per me ormai la matematica è un diletto (se fatta con le persone giuste),ho passato
ormai l'età per l'ambita medaglia, vuol dire mi dovrò consolare con qualcosa di equivalente
in un altro campo,e qualche chance ,al riguardo, credo ancora di averla!
"ottusangolo":
E mi meraviglio di quell'Hilbert, che si permette di insultare chi non conosce su argomenti che non ha capito
(mi riferisco alla poesiola e all'aneddoto su Ramanujan, frutto della sola mia fantasia e
che vanno intesi ovviamente in senso paradossale e ironico! )
Ehmmm...
Io non ho insultato nessuno, smettiamola! Faccio ironia su tutto e tutti, questo sì. Ma è ben diverso... Che poi - nello specifico - la tua poesiuola addirittura mi è piaciuta. E non ho dubitato neppure per un attimo che fosse tutta una storia di fantasia... 
Del resto, figuriamoci: Ramanujan io lo conosco di persona!
Piera ha spegato tutto in modo molto preciso. Se si prendono a caso (con densità uniforme) le coordinate sferiche, i punti che si ottengono non si addensano uniformemente nel volume (come invece chiaramente chiede l'esercizio) ma sono più densi verso i poli.
La soluzione 1/20 è corretta (non solo perchè proposta da riconosciuti esperti, tra cui MaMo
) anche perchè si può verificarla con una semplice prova 'sperimentale' fatta con il metodo Montecarlo. Provate con 1000 coppie di punti, con un livello di confidenza molto alto escluderete 1/4.
ciao!
La soluzione 1/20 è corretta (non solo perchè proposta da riconosciuti esperti, tra cui MaMo
) anche perchè si può verificarla con una semplice prova 'sperimentale' fatta con il metodo Montecarlo. Provate con 1000 coppie di punti, con un livello di confidenza molto alto escluderete 1/4.ciao!
"mirco59":
Piera ha spegato tutto in modo molto preciso. Se si prendono a caso (con densità uniforme) le coordinate sferiche, i punti che si ottengono non si addensano uniformemente nel volume (come invece chiaramente chiede l'esercizio) ma sono più densi verso i poli.
La soluzione 1/20 è corretta (non solo perchè proposta da riconosciuti esperti, tra cui MaMo
ciao!
ok, provate, lo farò anch'io, ad estrarre tante coordinate sferiche con un computer, a caso, così abbiamo le prove e il dubbio sarà risolto.
ciao!
E' proprio quello che non devi fare
Devi generare punti casuali in modo che siano uniformemente distribuiti nel volume (in senso statistico) della sfera (per esempio con coordinate uniformemente distribuite in un cubo che contiene la sfera e poi escludere quelli esterni). Se generi numeri casuali uniformemente distribuiti in coordinate sferiche è chiaro che non ti può tornare 1/20. La questione è infatti proprio questa
ciao
Devi generare punti casuali in modo che siano uniformemente distribuiti nel volume (in senso statistico) della sfera (per esempio con coordinate uniformemente distribuite in un cubo che contiene la sfera e poi escludere quelli esterni). Se generi numeri casuali uniformemente distribuiti in coordinate sferiche è chiaro che non ti può tornare 1/20. La questione è infatti proprio questa
ciao
@GuillaumedeL'Hopital
Nessuno ha detto che il tuo ragionamento è sbagliato!
La questione è che cosa si intende con "due punti scelti a caso" ? La frase è chiaramente ambigua e in base a come la si interpreta si possono avere risultati diversi (cerca in rete il paradosso di Bertrand)!
In genere il modello probabilistico che si usa in questo contesto è quello adottato da MaMo, tutto qua...
Il tuo modello penso che sia corretto, il problema è quello di decidere che modello utilizzare e ripeto in genere si usa il modello di MaMo.
Nessuno ha detto che il tuo ragionamento è sbagliato!
La questione è che cosa si intende con "due punti scelti a caso" ? La frase è chiaramente ambigua e in base a come la si interpreta si possono avere risultati diversi (cerca in rete il paradosso di Bertrand)!
In genere il modello probabilistico che si usa in questo contesto è quello adottato da MaMo, tutto qua...
Il tuo modello penso che sia corretto, il problema è quello di decidere che modello utilizzare e ripeto in genere si usa il modello di MaMo.
Simulazione Montecarlo:
Coppie simulate, Frazione favorevole
$10^2$ , 0.08649
$10^3$ , 0.06569
$10^4$ , 0.05183
$10^5$ , 0.05102
$10^6$ , 0.04982
Coppie simulate, Frazione favorevole
$10^2$ , 0.08649
$10^3$ , 0.06569
$10^4$ , 0.05183
$10^5$ , 0.05102
$10^6$ , 0.04982
@piera, ok ho capito grazie:D
@mirco, io ho simulato con un comunissimo software matematico e mi viene la distribuzione $P(d<=x)=x$ che non è, come ripeto, $x^3$ leggi il post di piera e ti sarà chiarito: tutto dipende dalla modalità di estrazione e poi si creano anche dei paradossi, vedi paradosso di Bertrand. 
secondo il mio parere, ripeto è solo un parere quindi contestabile, non c'è metodo di estrazione più casuale di quello che ho citato, se nel testo non si pongono delle restrizioni sul modo di estrarre i numeri.
@mirco, io ho simulato con un comunissimo software matematico e mi viene la distribuzione $P(d<=x)=x$ che non è, come ripeto, $x^3$ leggi il post di piera e ti sarà chiarito: tutto dipende dalla modalità di estrazione e poi si creano anche dei paradossi, vedi paradosso di Bertrand.
secondo il mio parere, ripeto è solo un parere quindi contestabile, non c'è metodo di estrazione più casuale di quello che ho citato, se nel testo non si pongono delle restrizioni sul modo di estrarre i numeri.
"GuillaumedeL'Hopital":
@piera, ok ho capito grazie:D
@mirco, io ho simulato con un comunissimo software matematico e mi viene la distribuzione $P(d<=x)=x$ che non è, come ripeto, $x^3$ leggi il post di piera e ti sarà chiarito: tutto dipende dalla modalità di estrazione e poi si creano anche dei paradossi, vedi paradosso di Bertrand.
secondo il mio parere, ripeto è solo un parere quindi contestabile, non c'è metodo di estrazione più casuale di quello che ho citato, se nel testo non si pongono delle restrizioni sul modo di estrarre i numeri.
Tutto è bene quel che finisce bene.
Questa discussione mi è stata molto utile (non conoscevo il riferimento storico a Bertrand). Condivido con te che sia ambiguo il termine 'presi a caso' mancando un procedimento chiaro di scelta. Tuttavia, se tu guardi i punti casuali che si generano dalle coordinate sferiche, non 'sembrerebbero' presi a caso nella sfera (almeno nel senso comune del termine). Nella soluzione che porta a 1/20, 'preso a caso' è inteso come: la probabilità di trovare un punto in una qualunque porzione della sfera è proporzionale al volume della porzione stessa indipendentemente dalla sua forma e posizione.
Ciao e grazie a tutti
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