Sequenze stazionarie
Buongiorno a tutti!
Ho un dubbio sulla definizione di sequenza stazionaria di varabile aleatorie. Una sequenza di variabili aleatorie $ X_1,X_2,... $ viene definita stazionaria se i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ hanno la stessa distribuzione congiunta di probabilità per qualsiasi $ j $ intero positivo. Il mio dubbio è: se una sequenza di variabili aleatorie è stazionaria, allora le variabili aleatorie della sequenza sono identicamente distribuite? Ho fatto questo ragionamento. Prendo i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_2,X_3,...,X_(n+1)] $ (quest'ultimo sarebbe $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ con $ j = 1 $). Per avere la stessa distribuzione congiunta, credo che la distribuzione della singola variabile $ X_1 $ del primo vettore debba essere la stessa di quella della $ X_2 $ del secondo vettore. Allo stesso modo la distribuzione della singola variabile $ X_2 $ del primo vettore dovrebbe essere la stessa di quella della $ X_3 $ del secondo vettore, e così via. Questo ragionamento si dovrebbe anche estendere al caso di generico $ j $. È corretto il mio ragionamento? Quindi se una sequenza di variabili aleatorie è stazionaria allora tutte le sue variabili sono identicamente distribuite? Grazie
Ho un dubbio sulla definizione di sequenza stazionaria di varabile aleatorie. Una sequenza di variabili aleatorie $ X_1,X_2,... $ viene definita stazionaria se i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ hanno la stessa distribuzione congiunta di probabilità per qualsiasi $ j $ intero positivo. Il mio dubbio è: se una sequenza di variabili aleatorie è stazionaria, allora le variabili aleatorie della sequenza sono identicamente distribuite? Ho fatto questo ragionamento. Prendo i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_2,X_3,...,X_(n+1)] $ (quest'ultimo sarebbe $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ con $ j = 1 $). Per avere la stessa distribuzione congiunta, credo che la distribuzione della singola variabile $ X_1 $ del primo vettore debba essere la stessa di quella della $ X_2 $ del secondo vettore. Allo stesso modo la distribuzione della singola variabile $ X_2 $ del primo vettore dovrebbe essere la stessa di quella della $ X_3 $ del secondo vettore, e così via. Questo ragionamento si dovrebbe anche estendere al caso di generico $ j $. È corretto il mio ragionamento? Quindi se una sequenza di variabili aleatorie è stazionaria allora tutte le sue variabili sono identicamente distribuite? Grazie
Risposte
Ciao,
Nella definizione che hai dato di processo stazionario manca come l'indice $n$ puo' variare, ovvero
Una sequenza di variabili aleatorie $ X_1,X_2,... $ viene definita stazionaria se per ogni $n$ i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ hanno la stessa distribuzione congiunta di probabilità per qualsiasi $ j $ intero positivo.
Quindi per rendere corretto il tuo ragionamento devi prendere $n=1$ e hai che $X_1$ ha la stessa distribuzione di $X_{1+j}$, per ogni $j$ intero positivo.
Se tieni $n>1$ (come sembri fare nel tuo ragionamento) come giustifichi che $X_1$ ha la stessa distribuzione di $X_2$ ?
Nella definizione che hai dato di processo stazionario manca come l'indice $n$ puo' variare, ovvero
Una sequenza di variabili aleatorie $ X_1,X_2,... $ viene definita stazionaria se per ogni $n$ i vettori $ [X_1,X_2,...,X_n] $ e $ [X_(1+j),X_(2+j),...,X_(n+j)] $ hanno la stessa distribuzione congiunta di probabilità per qualsiasi $ j $ intero positivo.
Quindi per rendere corretto il tuo ragionamento devi prendere $n=1$ e hai che $X_1$ ha la stessa distribuzione di $X_{1+j}$, per ogni $j$ intero positivo.
Se tieni $n>1$ (come sembri fare nel tuo ragionamento) come giustifichi che $X_1$ ha la stessa distribuzione di $X_2$ ?
Ciao, grazie per la risposta. Facendo un passo indietro, forse il baco nel mio ragionamento allora è ritenere che se due vettori di variabili aleatorie, ad esempio $ [X_1,...,X_5] $ e $ [X_6,...,X_10] $, hanno la stessa distribuzione di probabilità congiunta, allora $ X_1 $ ha la stessa distribuzione di $ X_6 $, $ X_2 $ ha la stessa distribuzione di $ X_7 $, e così via. Forse è questo che non è corretto, giusto?
Forse avevo espresso male la mia risposta, insistendo sul fatto che avevi dimenticato di scrivere come varia l'indice \(n\). Visto che \(n\) lo puoi prendere liberamente, tanto vale prendere \(n=1\) 
. La scelta dell'imperativo è in effetti forviante, scusa.
Il ragionamento a cui volevo arrivare con la mia domanda alla fine era che una volta fissato \(n\), anche \(n>1\), il tuo ragionamento è giusto in quanto due vettori aleatori con la stessa legge congiunta hanno anche le stesse marginali (perché ?).
. La scelta dell'imperativo è in effetti forviante, scusa.Il ragionamento a cui volevo arrivare con la mia domanda alla fine era che una volta fissato \(n\), anche \(n>1\), il tuo ragionamento è giusto in quanto due vettori aleatori con la stessa legge congiunta hanno anche le stesse marginali (perché ?).
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