Semplice esercizio v.a. binomiali

[Jack871]

Ciao.

Potreste gentilmente controllare se ho risolto correttamente il seguente esercizio:

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Siano $X$, $Y$ e $Z$ variabili aleatorie indipendenti con legge di Bernoulli di parametro $1/3$ e sia la variabile aleatoria $T = X + Y + Z$.

[list=a][*:3qvkz2bi]Calcolare $E[XY]$ e $Var(2X - 3Z)$.

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]Calcolare $P(Z > 1/3 Y)$.

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]Calcolare $P(T > 2/3)$.

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]Calcolare $E[X^2]$ e $Var(T - 2X)$.[/*:m:3qvkz2bi][/list:o:3qvkz2bi]
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[list=a][*:3qvkz2bi]$E[XY] = E[X]E[Y] = 1/3 * 1/3 = 1/9$

$Var(2X - 3Z) = 4 Var(X) + 9 Var(Z) = 4 * 1/3 * 2/3 + 9 * 1/3 * 2/3 = 8/9 + 18/9 = 26/9$

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]$P(Z > 1/3 Y) = P(Z = 1) = 1/3$

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]$P(T > 2/3) = P(T = 2) + P(T = 3) = ((3),(2)) (1/3)^2 2/3 + ((3),(3)) (1/3)^3 = 3 * 1/9 * 2/3 + 1/27 = {6 + 1}/27 = 7/27$

[/*:m:3qvkz2bi]
[*:3qvkz2bi]$E[T^2] = sum_{i=0}^3 i^2 ((3),(i)) (1/3)^i (2/3)^{3-i} = ((3),(1)) (1/3) (2/3)^2 + 4 ((3),(2)) (1/3)^2 (2/3) + 9 ((3),(3)) (1/3)^3 = 3 * 1/3 * 4/9 + 4 * 3 * 1/9 * 2/3 + 9 * 1/27 = {12+24+9}/27 = 45/27 = 5/3$

$Var(T - 2X) = Var(-X + Y + Z) = Var(X) + Var(Y) + Var(Z) = 3 * 1/3 * 2/3 = 2/3$[/*:m:3qvkz2bi][/list:o:3qvkz2bi]


Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

$ P (T> 2/3 )=1-P (T=0 )=(19 )/(27) $

$ E (T^2) $ non era richiesto dalla traccia....era richiesto $ E (X^2) $...

comunque tutto ok

[Jack871]

Grazie mille per la risposta!

In effetti non ho ricopiato in maniera corretta il testo dell'esercizio.

Al punto c) infatti il problema chiedeva di trovare $P(T > 3/2)$ mentre al punto d) $E[T^2]$.


Grazie ancora!

[Jack871]

Purtroppo (o per fortuna, dipende dai punti di vista) questo è quel che passa al convento.

Stasera pubblico ancora un esercizio (e poi la smetto giuro) da controllare.

Grazie mille.